Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Таранина И.В. "Гражданский процесс в схемах " (Юриспруденция)

Смоленский М.Б. "Адвокатская деятельность и адвокатура российской федерации" (Юриспруденция)
Реклама

От часов к хаосу: Ритмы жизни - Гласс Л.

Гласс Л., Мэки М. От часов к хаосу: Ритмы жизни — М.: Мир, 1991. — 248 c.
ISBN 5-03-001834-4
Скачать (прямая ссылка): otchasovkhaosu1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 95 >> Следующая

32
Гл. 2. Стационарные состоянии
изучении биологических проблем приходится искать методы, отличные от аналитического интегрирования дифференциальных уравнений. Кроме того, биологические системы настолько сложны, что обычно невозможно составить точные динамические уравнения, описывающие систему. Таким образом, динамические уравнения следует рассматривать как приближения — они не могут быть такими же строгими, как дифференциальные уравнения в физике, например уравнения Ньютона, уравнения Максвелла или уравнение Шрёдингера.
Один из альтернативных методов связан с численным решением дифференциального уравнения, впервые использованным Ходжкином и Хаксли в 1952 в блестящих исследованиях аксона кальмара. В настоящее время подобные методы обычно используются для изучения свойств уравнений, моделирующих электрическую активность нервной и сердечной ткани. Наряду с использованием численных методов, часто можно выявить важные качественные свойства решений нелинейных уравнений, не решая их явно. К числу таких качественных свойств относятся число и устойчивость решений уравнений. Методы качественного анализа имеют большое значение при анализе динамики биологических систем.
2.2. Стационарные состояния
Физиологическая концепция гомеостаза означает стремление системы поддерживать относительное постоянство внутренней среды при изменяющихся внешних условиях. Гомеостаз может быть связан с понятием устойчивых стационарных состояний в математике. Стационарное состояние (называемое также точкой равновесия или неподвижной точкой) характеризуется множеством значений переменных, при которых состояние системы не изменяется стечением времени. Для моделей, сформулированных в терминах дифференциальных уравнений, подобных уравнению (2.1), стационарное состояние х* является решением дифференциального уравнения, при котором dx/dt = 0. Например, z* — Х/у есть стационарное состояние уравнения (2.2). Стационарное состояние устойчиво, если после малого возмущения, выводящего систему из стационарного состояния, решение возвращается к этому состоянию при t —> оо. Восстановление кровяного давления после слабого возмущения, показанное на рис. 1.1, является указанием на то, что стационарное состояние в этом случае может быть описано математически как устойчивое стационарное состояние. Аналогично, для у > 0 в уравнении (2.2) стационарное со стояние х* = Х/у является устойчивым, и после возмущающего воздействия, выводящего систему из этого состояния, решение х (г) со временем возвращается к нему. Решение любого одномерного дифференциального уравнения, подобного уравнению
2.3. Предельные циклы и фазовая плоскость
33
(2.1). всегда приближается к стационарному состоянию или стремится к бесконечности при t —> оо. Начиная с некоторого начального значения х0, величина х монотонно возрастает, если / (х0) > > 0. и монотонно убывает, если f (х0) <Z 0. Увеличение (или уменьшение) будет продолжаться до тех пор, пока не будет достигнуто стационарное состояние (при t —> оо).
2.3. Предельные циклы и фазовая плоскость
Биологические системы не всегда стремятся приблизиться к стационарным состояниям, иногда они могут находиться в колебательном состоянии. Достаточно хорошо известны колебания, возникающие в дифференциальных уравнениях, подобных тем, которые описывают движение маятника или спутника в гравитационном поле Земли. В этих физических системах, если пренебречь трением, колебания после возмущения, вызванного введением энергии в систему, отличаются от первоначальных колебаний. Таким образом, амплитуда колебаний идеального маятника (в отсутствие потерь энергии на трение) должна в общем случае измениться в результате возмущения.
Однако в физиологических системах ситуация может быть совершенно иной. Эффект возмущения колебательной физиологической системы можно рассмотреть на примере действия короткого электрического стимула, приложенного к агрегатам спонтанно пульсирующих клеток, выделенных из желудочков сердца эмбриона цыпленка. В ответ на короткий электрический стимул происходит сдвиг фазы последующих потенциалов действия, но первоначальная длительность цикла восстанавливается в течение нескольких биений, как показано на рис. 2.2. Восстановление ритма после стимула указывает на то, что ритм устойчив. Так как термин «стационарное состояние» относится к неизменяющемуся состоянию (не являющемуся колебательным), ритм, показанный на рис. 2.2, не является стационарным состоянием, и в этом случае требуется иная концепция.
Необходимая концепция была предложена Пуанкаре в его исследовании дифференциальных уравнений с двумя переменными. В таких системах можно получить колебания, которые восстанавливаются в первоначальном виде после малого возмущения, приложенного в любой фазе колебаний. Пуанкаре назвал такие колебания устойчивыми предельными циклами.
Мы проиллюстрируем концепцию автоколебаний с помощью простого математического примера. Определим систему в полярных координатах, в которой переменная г есть расстояние от начала координат, а ф — угловая координата (см. рис. 2.3а). Рас-
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 95 >> Следующая