Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Таранина И.В. "Гражданский процесс в схемах " (Юриспруденция)

Смоленский М.Б. "Адвокатская деятельность и адвокатура российской федерации" (Юриспруденция)
Реклама

От часов к хаосу: Ритмы жизни - Гласс Л.

Гласс Л., Мэки М. От часов к хаосу: Ритмы жизни — М.: Мир, 1991. — 248 c.
ISBN 5-03-001834-4
Скачать (прямая ссылка): otchasovkhaosu1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 95 >> Следующая

lim = 4.6692016 .. . (2.9)
71~* ОС Ла2Г>
Еще более примечателен тот факт, что это отношение не зависит от точной аналитической формы отображения до тех пор, пока отображение имеет только один квадратичный экстремум (максимум). Число а = 4.6692016... называется константой Фейген-баума.
По мере дальнейшего увеличения а в интервале 3.57... < а < 4 обнаруживаются устойчивые периодические орбиты с другими периодами (см. рис. 2.6). Эти периодические орбиты возникают в строго определенной последовательности, называемой [/-последовательностью (от universal) (см. приложение). Помимо устойчивых периодических орбит, наблюдается также «хаотическая» динамика.
2.5. Бифуркации и хаос
43
Хотя был предложен целый ряд математических определений хаоса, мы попытаемся привести основные понятия, опуская технические детали. Хаос характеризуется двумя основными особенностями: (1) при некоторых значениях параметров почти веб начальные условия приводят к апериодической динамике; (2) при сколь угодно близких начальных условиях движение системы будет различным. Это означает, что существует сильная зависимость от начальных условий.
Поскольку начальные условия известны лишь с некоторой конечной степенью точности, невозможно предсказывать динамику
2,95 Q 4.0
Рис. 2.6. Бифуркационная диаграмма, показывающая распределение величин ,г как функции а для уравнения (2.6). Рисунок предоставил J. Crutchfield.
после некоторого момента в будущем, так как незначительные различия в начальных условиях могут оказывать сильное влияние на эволюцию системы во времени. Сходство функции на рис. l.llb с квадратичной функцией, а также наблюдающаяся апериодическая динамика (1.11а) позволяют рассматривать такие динамические процессы как хаотические (см. гл. 7).
Другим случаем, в котором, как многие полагают, можно обнаружить хаотическую динамику, являются дифференциальные уравнения, моделирующие атмосферные процессы. Лоренц высказал замечательное соображение, заключающееся в том, что если бы эти уравнения действительно имели хаотические решения, то
44
Гл. 2. Стационарные состояния
долгосрочные предсказания погоды были бы невозможны, так как сколь угодно малое возмущение (такое, как трепетание крыльев бабочки) могло бы в некотором отдаленном будущем изменить погоду на другой половине земного шара. Этот так называемый эффект бабочки часто приводится в качестве наглядного примера действия хаоса. Масштаб времени, в котором могут быть сделаны метеорологические предсказания, неизвестен в настоящее время, хотя мы все подозреваем, что он может оказаться довольно малым.
Можно представить себе постановку экспериментов в лабораторных условиях, в которых измерения некоторого эффекта могут быть сделаны только по истечении определенного времени. Если бы экспериментальная система была «хаотичной», существовал бы большой разброс в измеренных величинах. Невероятно, чтобы подобный разброс удовлетворял экспериментатора (или рецензента), и вполне возможно, что начальные условия будут изменяться до тех пор, пока не будут получены «воспроизводимые» результаты.
2.6. Заключение
Эта глава знакомит с основными математическими концепциями, использованными в этой книге. Стационарные состояния — это решения дифференциальных уравнений или разностных уравнений, которые остаются постоянными во времени. Возможны также периодические решения (называемые циклами или колебаниями) таких уравнений. Решения, которые возвращаются к первоначальному виду после возмущения, называются устойчивыми. Кроме того, как в детерминированных дифференциальных, так и в разностных уравнениях могут быть получены апериодические, хаотические решения, характеризующиеся сильной зависимостью от начальных условий. Переходы между различными типами динамического поведения называются бифуркациями.
Примечания и литература, глава 2
2.1. Переменные, уравнения и качественный анализ
Hodgkin и Huxley (1952) своими изящными исследованиями процесса возбуждения в гигантском аксоне кальмара, заслужившими Нобелевскую премию, привлекли внимание электрофизиологов к важности математического моделирования, а внимание математиков — к разнообразию нелинейных проблем, обнаруживаемых в биологии. Их исследования опирались на численное интегрирование дифференциального уравнения в частных производных с использованием арифмометра. Подобные модельные подходы (но уже с использованием цифровых компьютеров) были применены для выяснения ионных механизмов во многих других тканях —
Примечания я литература, гл. 2
45
например, процесса возбуждения в сердечной ткани (McAllister, Noble и Tsien 1975; Noble 1983, 1984) и гормональной секреции в р-клетках поджелудочной железы (Chay и Rinzel 1985). Повсюду в этой книге мы приводим много дополнительных примеров нелинейных моделей в физиологии.
2.3. Предельные циклы и фазовая плоскость
Наше современное понимание возникновения и поведения предельных циклов основывается на оригинальной работе Poincare (1981, 1982. 1954). посвященной изучению дифференциальных уравнений с двумя переменными. Системы, которые мы назвали осцилляторами Пуанкаре, называются также >,-со-системами (Kopell и Howard 1973). Конкретный пример осциллятора Пуанкаре в уравнении (2.4), названный радиальными изохронными часами (Hoppensteadt и Keener 1982), использовался в моделировании рядом исследователей (Winfree 1975, 1980; Guevara и Glass 1982; Hoppensteadt и Keener 1982; Keener и Glass 1984).
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 95 >> Следующая