Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Таранина И.В. "Гражданский процесс в схемах " (Юриспруденция)

Смоленский М.Б. "Адвокатская деятельность и адвокатура российской федерации" (Юриспруденция)
Реклама

От часов к хаосу: Ритмы жизни - Гласс Л.

Гласс Л., Мэки М. От часов к хаосу: Ритмы жизни — М.: Мир, 1991. — 248 c.
ISBN 5-03-001834-4
Скачать (прямая ссылка): otchasovkhaosu1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 95 >> Следующая

Спектры мощности были получены для многочисленных физиологических переменных, таких как частота пульса, кровяное давление, объем вдоха-выдоха, электроэнцефалографические показатели и тремор. Типичный спектр мощности имеет один или более пиков, которые соответствуют главным частотам, присутствующим в сигнале. В дополнение к этим главным пикам могут существовать другие частоты, но при меньших амплитудах, и очень часто мощность распределена по широкой полосе частот.
Широкополосные спектры мощности, возможно, с налагающимися друг на друга пиками, часто связаны с хаотической динамикой. К сожалению, «шум» также связан с широкополосными спектрами, и, следовательно, присутствие широкополосного спектра недостаточно для того, чтобы отличить хаос от шума.
3.3. Выявление хаоса
59
Отображение Пуанкаре
В гл. 2 мы обсуждали моделирование нелинейной динамики дифференциальными уравнениями. Интегрирование этих уравнений дает траектории в фазовом пространстве. Отображение Пуанкаре получается при пересечении траекторий в фазовом пространстве гиперповерхностью, размерность которой на 1 меньше, чем размерность фазового пространства (например, линией, если фазовое пространство двумерно). Функция, которая дает возврат к этой поверхности при последующих пересечениях, является решением разностного уравнения, которое иногда называется отображением последования, или отображением Пуанкаре.
Отображение Пуанкаре, построенное для системы с непрерывным временем, может использоваться для анализа динамического поведения. Отображение Пуанкаре, соответствующее динамической системе, позволяет судить о наличии хаоса в экспериментальной системе. Данные на рис. 1.11 соответствуют отображению Пуанкаре для периодически стимулируемого агрегата сердечных клеток (см. гл. 7). В некоторых системах, в которых трудно или невозможно проследить эволюцию всех переменных во времени, иногда измеряется только одна переменная и определяется зависимость этой переменной от ее значения в некоторый предыдущий момент времени, а затем определяется отображение Пуанкаре в этом двумерном представлении временной последовательности.
Пути к хаосу
Мы описали последовательность бифуркаций в квадратичном отображении при изменении параметра а. В некоторых случаях можно было наблюдать те же самые последовательности бифуркаций даже в ситуациях, для которых нет хорошо разработанной теории. Например, наблюдение бифуркаций удвоения периода, сопровождающихся возникновением нерегулярной динамики, рассматривается как указание на то, что нерегулярная динамика представляет собой хаотический процесс.
Наиболее убедительные доказательства существования хаотического поведения возникают в теоретическом исследовании тех случаев, в которых при изменении параметров наблюдается как периодическая, так и хаотическая динамика. Соответствие между экспериментальными данными и теоретически предсказанным динамическим поведением, включая нерегулярную динамику экспериментальной системы при значениях параметров, приводящих к возникновению хаоса в детерминированных уравнениях, позволяет сделать вывод о том, что экспериментально наблюдаемый процесс является хаотическим. Эксперименты с периодически стимулируемыми сердечными клетками представляют один из случаев, в которых такой анализ оказался возможным (см. гл. 7).
60
Гл. 3. Шум и хаос
Число Ляпунова и размерность
В последних работах по нелинейной динамике разработаны количественные меры для характеристики сложного динамического поведения. Чаще всего используются число Ляпунова и размерность, которые являются мерами регулярности и геометрии движения соответственно. Хотя полное описание этих мер технически сложно, мы кратко обсудим их в следующем разделе ввиду все возрастающей важности этих величин для характеристики нелинейной динамики.
3.4. Странные аттракторы, размерность
и числа Ляпунова
К математическим концепциям, связанным с характеристикой хаоса, можно подходить с позиций дифференциальных уравнений или разностных уравнений. Здесь мы ограничимся рамками дифференциальных уравнений, но отметим возможность выхода из этих рамок и перехода к разностным уравнениям. Аттрактор есть множество точек S, таких, что траектории почти всех точек в окрестности S стремятся к S при ?, стремящемся к бесконечности. Таким образом, устойчивые стационарные состояния и устойчивые предельные циклы, обсуждавшиеся в главах 1 и 2, являются аттракторами. Такие аттракторы имеют очень простую геометрическую структуру (рис. 3.8). В частности, устойчивое стационарное состояние представляет собой точку (размерность 0), а устойчивый предельный цикл — замкнутую кривую (без самопересечений) (размерность 1). Возможен также двумерный аттрактор, примером которого служит тор (т. е. поверхность бублика). В этом случае траектория может наматываться на тор бесконечное число раз, заполняя его поверхность, но никогда не пересекает себя (рис. 3.8). Этот случай, называемый квазипериодичностью, рассматривается в гл. 7.
В рассмотренных выше примерах аттракторы имеют простую геометрию с размерностью, определяемой целым числом. Это не «странные» аттракторы. Однако в настоящее время стало общепризнанным существование аттракторов с непонятными геометрическими свойствами, которые Рюэль и Такенс (Ruelle, Takens) в 1971 г. предложили называть странными аттракторами. Поскольку различными авторами даются различные определения странных аттракторов, мы предпочитаем обойтись без их подробного обсуждения, представив вместо этого наглядные примеры, которые дают некоторое понимание того, что означает термин «странная» геометрия.
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 95 >> Следующая