Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Таранина И.В. "Гражданский процесс в схемах " (Юриспруденция)

Смоленский М.Б. "Адвокатская деятельность и адвокатура российской федерации" (Юриспруденция)
Реклама

От часов к хаосу: Ритмы жизни - Гласс Л.

Гласс Л., Мэки М. От часов к хаосу: Ритмы жизни — М.: Мир, 1991. — 248 c.
ISBN 5-03-001834-4
Скачать (прямая ссылка): otchasovkhaosu1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 95 >> Следующая

64
Гд. 3. Шум и хаос
нечное число раз, называется канторовским множеством. Чтобы вычислить его размерность, допустим, что т есть число повторений процесса вырезания, так что е == (1/3)”*. Если т — 0, то п (е) =1; если m — 1, то п (е) = 2; если тге — 2, то га (е) = 4;
и, вообще, га (в) = 2т. Используя уравнение (3.13), легко вычисляем d = log 2/log 3 = 0.630... .
Нематематикам это обсуждение фракталов может показаться бессмысленной тарабарщиной. Однако теперь стало ясно, что в нелинейных системах могут существовать странные аттракторы, являющиеся фракталами. Более того, Мандельброт и др. высказали предположение о том, что такие анатомические структуры, как система кровообращения и легкие, могут иметь фрактальную геометрию. Анализ фрактальных аспектов анатомии и динамики только начинается и, несомненно, станет областью гораздо более интенсивного развития.
Другой количественной мерой, характеризующей странные аттракторы, является число Ляпунова, которое можно определить при рассмотрении! эволюции в фазовом пространстве малого шара, состоящего из точек этого пространства. С течением времени малый шар (в Димерном пространстве) превращается в эллипс с главными осями rt (t). Числа Ляпунова определяются как
Xt — lim log2 » (3-14)
причем X/ (г) упорядочиваются по убыванию. Kaplan и Yorke пришли к выводу о том, что размерность странных аттракторов может быть определена с помощью чисел Ляпунова. До сих пор мы избегали обсуждения связей между хаосом, странными аттракторами, размерностью и числами Ляпунова. В использовании этих терминов иногда возникает путаница, и отмечаются расхождения между различными авторами. Наиболее четкими кажутся представления Grebogi и соавторов. Они используют термин «хаос» для описания динамики системы, а термин «странный аттрактор» —для характеристики геометрии аттрактора. Хаотическая система — это такая система, для которой типичные орбиты на аттракторе имеют положительную экспоненту Ляпунова. Странный аттрактор имеет необычные геометрические свойства, такие, как нецелочисленная размерность и недифференцируемость. Это отличие, по-видимому, является важным, так как, согласно принятым выше определениям, хаотическая динамическая система может иметь аттракторы, не являющиеся странными, и, наоборот, нехаотическая динамическая система может иметь странные аттракторы.
В настоящее время проводится активная работа по разработке практических алгоритмов, которые могут быть использованы для численного определения размерностей и чисел Ляпунова, если
Примечания и литература, гл. 3
65
известны значения некоторой переменной как функции времени. Область применения их в биологии включает анализ электроэнцефалограмм и электрокардиограмм. К сожалению, используемые алгоритмы имеют много потенциальных ловушек и их свойства сходимости в настоящее время недостаточно выяснены. В частности, два аспекта требуют тщательного теоретического анализа:
(1) требования к размеру анализируемого массива данных и (2) влияние шума, старших производных и геометрии аттрактора. Из-за зтих сложностей однозначное истолкование публикуемых данных затруднено. Любое утверждение о существовании «хаоса», основанное исключительно на вычислении размерности или числа Ляпунова без дополнительных данных, таких, как хорошо описанные бифуркации или правдоподобная теория, может быть встречено с сильным скептицизмом.
3.5. Заключение
Для характеристики случайных процессов часто используют гистограммы интервалов между событиями. Например, хорошо известно, что в случае пуассоновского процесса такая гистограмма представляет собой экспоненциальную функцию. Мы показали, что хаотические системы также могут давать экспоненциальные гистограммы интервалов между событиями. Таким образом, установить различие между шумом и хаосом непросто, и вполне возможно, что во многих системах нерегулярная динамика, приписываемая шуму, в действительности может быть обусловлена хаотическими процессами в детерминированных системах. Обсуждаются способы идентификации хаотической динамики. Эта область в настоящее время активно изучается. Четкие рабочие определения, которые могут быть использованы для оценки относительных вкладов шума и хаоса в данной экспериментальной записи, в настоящее время отсутствуют.
Примечания и литература, глава 3
3.1. Пуассоновские процессы и случайные блуждания
Обсуждение стохастических процессов, связанных с шумом, можно найти в любой книге по теории вероятности. Мы рекомендуем Feller (1968). Аппроксимация гистограмм интервалов между событиями является стандартной процедурой в нейрофизиологии и встречается во многих случаях. Мы привели примеры из работ Fatt and Katz (1952), которые изучали миниатюрные потенциалы действия концевых пластинок в нервно-мышечном синапсе лягушки, и Sakmann, Noma and Trautwein (1983), изучавших открывание ионных каналов в сердечных клетках. Van der Kloot, Kita
5-838
66
Гл. 3. Шум и хаос
and Cohen (1975) обсуждали различия между предсказаниями пуассоновского процесса и экспериментальными данными для временного распределения миниатюрных потенциалов концевых пластинок в нервно-мышечном соединении. Gerstein и Mandelbrot
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 95 >> Следующая