Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Таранина И.В. "Гражданский процесс в схемах " (Юриспруденция)

Смоленский М.Б. "Адвокатская деятельность и адвокатура российской федерации" (Юриспруденция)
Реклама

Машина поста - Успенский В.А.

Успенский В.А. Машина поста — М.: Наука, 1988. — 96 c.
ISBN 5-02-013735-9
Скачать (прямая ссылка): mashinaposta1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 .. 38 >> Следующая

чисел (а; Ъ), подчиненная условию а2 + 2 = 63, например, пара (5; 3).
Решая какое-либо уравнение, надо всегда точно знать, какие числа
дозволяется брать в качестве его решений. Если, к примеру, решением
уравнения должен служить прирост количества коз в таком-то стаде за
такой-то срок, вряд ли нас устроит ответ "две трети" (но ответ "минус
десять" будет осмыслен: он означает, что количество коз в стаде, к
сожалению, не возросло, а уменьшилось). Для уравнения (1) можно
интересоваться его действительными решениями, то есть парами
действительных чисел, рациональными решениями, то есть парами
рациональных чисел, целыми решениями, то есть парами целых чисел.
Уравнение (1) имеет бесконечно много действительных решений: достаточно
взять любое а и положить
b = yw+Т, тогда пара (а\ Ъ) будет решением (вопрос к ч и -
т а т е л ю: можно ли взять любое b и положить а = Уб3 - 2?). Нетрудно
доказать, что (1) имеет бесконечно много рациональных решений; вот одно
из них: (0,383; 0,129). Целых же решений только два: (5; 3) и (-5; 3).
Однако доказать это нелегко.
Решение уравнений в целых числах представляет собой очень древнюю (ею
занимался еще сам Пифагор в VI в. до н. э.) и - в общем случае - очень
трудную задачу. Основная трудность состоит в том, чтобы выяснить, имеет
ли данное уравнение хотя бы
90
одно целочисленное решение. Например, неизвестно (во всяком случае было
неизвестно до сравнительно недавнего времени) имеют ли решения в целых
числах уравнения х3 + У3 + 2:3 = 30 и х4 + У4 + -j- 24 = и\
Задача для читателей. Для каждого из уравнений лс4 + у4=5z2, Зх2-*/2= 1,
х2 + y3=z* найдите какое-нибудь решение в целых числах или докажите, что
такого решения не существует.
Указание. Об этих и других уравнениях в целых числах можно прочесть в
популярных брошюрах: Гельфонд А. О. "Решение уравнений в целых числах",
М., 1984 (серия "Популярные лекции по математике", вып. 8); Серпин-ский
В. "О решении уравнений в целых числах", М., 1961.
Задача "уметь по произвольному алгебраическому уравнению с целыми
коэффициентами выяснять, имеет ли оно решение в целых числах" составляет
одну из двадцати трех так называемых проблем Гильберта. Что это за
проблемы?
Когда Давид Гильберт (1862-1943), один из величайших математиков XX века,
готовил свой доклад на Всемирном математическом конгрессе в Париже в 1900
г., он выбрал 23 проблемы из различных областей математики. Эти проблемы
были его попыткой "проникнуть в предстоящие успехи нашей науки и тайны ее
развит тия в начинающемся столетии". Попытка эта оказалась необычайно
успешной и ценной. И по сей день решение (даже частичное) какой-либо
проблемы Гильберта расценивается во всем мире как высшее математическое
достижение. Обязательным требованием, предъявляемым к действительно
фундаментальной проблеме, Гильберт считал "возможность изложить ее
содержание первому встречному". Задача о выяснении наличия целочисленных
решений составляет десятую проблему из списка Гильберта. Читатель может
сам судить, в какой степени ее формулировка является общедоступной.
Сейчас мы сформулируем десятую проблему Гильберта в соответствии с
принятыми нами стандартами. Напомним, что алгебраическим называется
уравнение вида Р(хi, хп) =0, где Р - многочлен.
Проблема 1 (десятая проблема Гильберта). Дано: произвольное
алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами. Т р е б у -е т с я:
выяснить, существует ли у данного уравнения решение в це-лых числах.
Искомый алгоритм: в 1970 г. советский математик Ю. В. Ма-тиясевич доказал
невозможность алгоритма, решающего эту проблему (см. "Квант", 1970, № 7,
с. 39).
В связи со сформулированной проблемой уместно сделать замечание,
пршленимое не только к ней, но, с соответствующими изменениями, и в
других случаях. Алгоритм отыскания какого-нибудь решения любого
уравнения, о котором известно, что у него есть решение в целых числах,
существует! Действительно, вот такой алгоритм: надо просто подставлять в
уравнение все наборы целых чисел. В конце концов будет найден набор,
удовлетворяющий уравнению.
Приведем несколько естественных модификаций первой проблемы.
Проблема 2. Дано: произвольное алгебраическое уравнение с целыми
коэффициентами. Требуется: выяснить, существует ли у данного уравнения
решение в действительных числах.
Искомый алгоритм: существует!
Решение проблемы 2 было получено известным польским логиком и математиком
Альфредом Тарским в 40-е годы XX века-О применении этого результата будет
говориться дальше. В дей-
91
ствительности, Тарский построил более общий алгоритм, позволяю^ щий
выяснить наличие решений у систем равенств и неравенств.
Чтобы оценить степень нетривиальности алгоритма Тарского, попытайтесь
решить следующую задачу. По произвольному алгебраическому уравнению с
целыми коэффициентами и одной неизвестной требуется выяснить, существует
ли у него решение в действительных числах. (Ясно, что эта задача -
простой частный случай проблемы 2.) Если степень уравнения нечетна, сразу
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 .. 38 >> Следующая