Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Введение в аналитическую механику - Бутенин Н.В.

Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику — М.: Наука, 1971. — 264 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievanaldinamiku1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 64 >> Следующая

-потенциальной энергии П в исследуемом положении равновесия
обнаруживается иже по членам второго порядка (или вообще по членам
наименьшего порядка) в разложении функции П(<7ь а2 ¦ * Q&) 6 Ряд Тейлора,
то равновесие неустойчиво.
Пример 17. Для механической системы, рассмотренной в примере 7,
потенциальная энергия может быть выражена формулой
П .== Р (#Cq ~ *с) + ~2 ^2'
где к со - значение координаты Хс при недеформированной пружине ^ = [ I -
- /0) - растяжение пружины. В соответствии с приведенными в примере 7
расчетами
г г . я Г_ ш rt Фо
хс - у cos ф, хсо = Y cos <р0, А Г 2г cos-^ - 2 г cos
Следовательно,
1 л. л ( Ф Фо \2'
П - Рг (cos фо " cos<$) cf ч2ег2 I cos ^ - Gas'll) *
где
1)ик,#9 И> -;t*
~1Г ~Ът <г"
Так как
-jPrsin q> -2cr^[cos" -cos-^YsIn^-,
<Йр
то отсюда получаем условие равновесия
. Г{2сг-Р) cos
что, естественно, совпадает с условием равновесия для щаннзой 'системы,
полученным в примере 13 из условия Q -* 0. Там же было установлено, что:
всегда существует состояние.равновесия при фt = О" а при
Р<?.(2г-4)
(тли
Р > с (2г-Ь/0)
¦
существует еще одно состояние равновесия:
cl#
у 1 фй = 2 arccos 2гс _ р .
Выясним характер этих состояний равновесия- Вторая производная от Ц по ф
равна
" . и • • . j. ¦ -
- dzTl г Г ¦ Ф1
-Ис<й<р + C/oCOS Y .. ,
44 ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ [ГЛ. 3
ПрН ф а" О
йЩ г dq>2 2
(Р - 2сг + ck).
d4l - "
Значит, при Р>с(2г - /0) "^Г>'° и это состоянке равновесна
-устойчиво, а при ^;с:х:(2г +/о)=- неустойчиво. Для .состоявия:!,рав-;
повесил*

dtp2
~ - Her) ^2 cos2 " * ] + clo cos
r (2cr 4- do - P) (P ~~ 2cr -f- cl\i} : ; 'o ••• Р-2СГ
• I
Л 2T|
Если P <2c/ --cio, тЬ т!' € состояние равновесия устой-
• ^ ¦ dsH - • '
чиво. Если P > 2cr + -etc, to ¦ ^ и' следовательно, состояние
равновесия неустойчиво. Итак, при Р ¦< 2сг - с1й существуют два со-
¦ / d(\ стояния равновесия: <ф| г= 0 - неустойчивое и ф2 = 2 arccos ^-
ZTW~
\ " и" - * устойчивое. При1 Я 7> 2с/- + с/0 существуют также два
состояния равновесия: ф! .*" 0 -А устойчивое ¦ й;-'; ф'.*¦ "Фа
неустойчивое. . Opjst,
е(2г - 1ъ) < Я^ с (2Д *f ;#с) существует одно устойчивое состояние
равновесия <pi "0,
• ч. * ¦ ¦ I ' ¦ ¦ • я-
¦ - ¦ ¦
¦ у •
Призер 18. Определить ^устойчивость положений равновесии в примере, схема
которого изображена на рис. 2,5 (§ 2.2)г Дифференцируя
¦ . ¦ Г . ' ¦ • ...
' ¦ ¦ 1 • _ I . ¦
= 2 (т + mi)ga sin ф - ac (a cos ф - /с) sin ф
- ¦ . . . •
%l - у ¦
- f J " 1
по" 4р, дюлучим •
¦¦¦ ¦¦ иив !¦¦¦¦¦ . - в ¦
¦¦;¦¦¦¦ 2 (т + mi) ga cos ф 4- cas sin2 ф - ас (а cos ф - /о) cos ф -

%
- а [2 (m -f- m,) g + с/(c)] cos ф -Ь са2 (1 - 2 cos2 ф).
:: -.1 \ * г . : . • •• - - ¦ '
I I I ¦ I . • 1 " . _ . • ¦ . .
¦ 1 ¦ ¦
При ф s= 0 будет
Л 2 ТТ
¦= й [2(mi + m) ^ - с (а -/0)].
При
2 (/rt + mt) g > с (оk)
будет
d<p* Г и'
II i
УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЯ РАШИЛИЛЛ1И
4"
. ; ¦ ¦' : 1 г '
Xя* ¦ ¦ ¦ ¦ я
пптрнииальная энергия имеет минимум и состояние равновесия
J ^ о устойчиво. При
2 {т +.mv)g < с (а - /с) '
Ъ ¦ ¦
2
<0
я слёдовательйо, Состояние равновесия неустойчиво. При
2 (m + mi) ? + с/0
t-

dq>2
m - m2 arccos
ь ' -
I
[2 (т + mi) g + с (а 4- /(,)} [с (а- 4) - 2 (т 4- mt) g]
и ¦ 1 fwmtmw " i.
-•¦ ; V ¦ ¦ c \ ' r ' : • = :
r ¦:
Если
S -J- mx)g <c{a - /0),
d4l
и состояние равновесия Ф *=> устойчиво; Значит, при ,
2 (m¦+ rrti)g> с (а - 1$) '¦ ' -'л
¦ • <,- у
¦ ¦it.1 1
существует .одно устойчивое состоящие рад-,, новесия ф == 0. При
. 2 (т + т,) g< с (a -Yot :
* .;. . . . _ . ... ¦,. .. ... ,¦ t " ...
существуют ДБой состояния равновесия: ;ке: , устойчивоб ф - 0 й
устойчивое ф = фг;
Пример 19/ Невесомый стержёпь ОЛ '' длины а может свободно вращаться .
вокруг точки ~ О. К; коащу А стержня шар-!. ' . . нирно прикреплен
невесомый стержень: АВ ¦¦ длины а, на другом конце которого закреплен
груз В массы т. Точка О и точка В соединены, между .собой пружиной •
жесткости с. Масса пружины пренебрежимо мала, длина пружины в
ненапряженном состоянии равна й. Найти положения равновесия (рис. 2*7),
считая, что система расположена в плоскости ху. Пусть обобщенными
координатами будут
'.-I. ' r\ j I j: ' ' и - : " / . ;
. ' . ;
и ¦ - • :
^ ¦ . % • | Г . а • ¦ ¦ ¦ ¦ ."г ¦
I I 1
_ Y ш . • - * • ¦ 1 ¦ Г ¦ ¦
¦ ' " - j I
Выражение для потенциальной энергии имеет вид
- ¦ ¦ т
I
Рнст. 2.7.
Здесь
п - - mgxB
Xg - o,(gos ф. rb COS tyK' , л ф - ф
& - 2аcos г-х - а;
ЙРИИЦНП- БИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
[Ш з
зяачтгг, Потенциальная энергия
П-
I
mga (cos фг-^ cosaJ)) + - са2 |^2cos - ^ ^ -' if *
Далее вычисляем
Ш
<9ф
Ш
- mga sin <g> -{- ca2 2 cos
(
mga sin ф - саг (.2 cos
(!
Ф"ф
2
-,) sin A
-1) si.
Ф-Ф
щ ? -j- 2 *
*
Углы ф и t|) в положении равновесия определяются из уравнений
2
2
mgsin ф - са ^2 cos - - iVsin -
Ф
0.
!
(2.11)
2 . Г 2.
Очевидно, йто ^положенийфавновесйя.
Ф| = 0, Фг~ 0
в ". ......
. ¦ • ' п
Л, . ф2 = Я.
:
Складывая между собой оба уравнения (2.11), получим положение
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 64 >> Следующая