Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Таранина И.В. "Гражданский процесс в схемах " (Юриспруденция)

Смоленский М.Б. "Адвокатская деятельность и адвокатура российской федерации" (Юриспруденция)
Реклама

Введение в аналитическую механику - Бутенин Н.В.

Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику — М.: Наука, 1971. — 264 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievanaldinamiku1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 64 >> Следующая

рассмотрим некоторые свойства так называемых скобок Пу ассона. Пусть
функции ф и f являются функциями t и Ят Рт (т = 1, 2, .,., s). Для
операций над этими функциями вида
s s [ <?<p dqs . "Эф \_
г ~-шв
д(]т дрт дрт dtytn j -шЛ m = l m = I
Пуассон ввел обозначение (ф, ф), т. е.
¦ ~ ' • = ¦ • ¦
s •
ддт дрт
д$т др!П \
. * . "
-й:--&Ш
т ¦" I
*) Предполагаем, что все интегралы являются, независимыми, т. е. в число
рассматриваемых интегралов не включаются произволь-
ные функции or этих интегралов;.
134 ' КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
[ГЛ. 5
Это специальное преобразование называется скобками Пуассона, Из
рассмотрения выражения (5.27) следует:
1) (ф, <ф)= ф),
2) (с<р, т}>) = с (ф, -ф),
3> Ж<ь "-(&¦ ¦) + (" 1)
(с- постоянная величина).
Если кроме функций <р и ф рассмотреть еще какую-Либо функцию %{1У дт,
рт), то в соответствии с выражением (5.27) можно записать:
4) (Ф + X) = (ф> X) + Сф> х)-
Кроме того, можно получить путем непосредственных вычислений тооюдестео
Пуассона:
5) ((ф. 'Ф), %) + (М>, %), <р) + ((х. ф)> Ф) = 0, (5.28)
которое, однако, можно доказать и несколько проще" Каждый из членов этого
тождества в силу (5.27) должен содержать вторые производные от функций,
входящих во внутренние скобки Пуассона, причем каждая вторая производная
какой-либо функции будет умножаться на первые производные от двух других
функций. Значит, если доказать, что рассматриваемое выражение
(5.28) не содержит вторых производных от функций ф, и то тождество
будет доказано. Рассмотрим сумму
((Ф. '/.)> ф) + ((х> ф). Ф) = ((Ф, %), ф) - ((ф, %), t) = = (Ф, (ф, %)) -
(ф, (Ф, х))
и докажем, что она не содержит членов с вторыми производными от функции
На основании (5.27) можно записать
(Ф, (ф, у)) - (ф, (Ф, х)) =
У f_*L А- (, у) - J*L Л. и У)1 _
A L Щк дрк w' " <5Рк dqk W. X"J
k=l
iibitжx)~-§tжx)3
§¦5.41 СКОБВД ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ - ПУАССОНА 135
или
(Ф> (ф* х)) - (ф, (Ф, У.))
s
П
dif) - д_________д 1 VI / дф д% дф д% \
Jk J Zd \ &Qm дрт дрт д$т)'
, dqk dpk dpk dq A=I т-\
$
VI / дер д_____________д(р_ д \ VI / дф д% d-ф д%
м \ dqk dpk dp;t dqk ) 2д\ dqm дрт
k=l m=1
s s
dpm dqm
" 'V' V [ { _ дф дф \ d2% .
- Za [ \ ~dq'm ~ Wk dqm) др-я dpm '
к=1 /тг=J
( *p f?Tj) <?я|) . ^.) 1 d2%
dqk Opm } dpk dfjm
+
+
I d(V... <hf> chf) дф \ d2% , | f.<HV С?ф <?ф \
\dpk dqm dpk <?pm dpm
x
O / 1
X ч-+ члены, не содержащие вторых производных
uQk vQm J
от х*
Если в полученном выражении заменить т на k, a k на т, то выражение под
знаком двойной суммы изменит знак на обратный. Следовательно, двойная
сумма равла нулю и исходное выражение
(СФ, х), ф)+((ъ ф), 'Ф)
не содержит членов со вторыми производными от х* Аналогично можно
показать, что выражения
((ф> 'Ф). %) ¦+ (•№, УХ ф) к ((ф, $)> %) + ((%> ф), 'Ф)
не содержат соответственно членов со вторыми производными от ф и ф. Тем
самым доказывается тождество Пуассона.
Предположим теперь, что функция
:f (^) Q i) ?2t г * • -1 Qsi ply p2y *•"" Ps)
такова, что для Ць . <?s, являющихся решениями
канонических уравнений (5.24), справедливо равенство
/ (*, Ql, fe • • •. ft. p2> ¦¦¦, Ps)=C,
136 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА [ГЛ* В
выполняющееся для заданного с при определенных на чальных условиях*).
Отсюда получаем
+ \ ( dL $т + dL ?т) °
К
di ' \dqm (tm) 1 дрт
m-i
или, используя уравнения (5.24),
" +V(eL"L_ "L "П-о.
Л V д(]т дрт дрт д^гп I
dt
Я1" i
т. е.
§• + (/, Я) = 0. (5.29)
При помощи этого тождества можно доказать, что (/ip) будет интегралом
канонических уравнений, если f и ф являются интегралами этих уравнений
(теорема Якоби- Пуассона), Действительно, так как f и ф - интегралы
уравнений (5.24), то в соответствии с тождеством
(5.29) имеем
+ (/, Я) = 0, -ft + м>, Я) = 0. (5.30)
X ^
С другой стороны, на основании свойства скобок Пуас-ссна '
Значит, выражение
¦§f (/, ф)+< а, +), я)
с учетом (5.30) может быть переписано в виде
- (if, Я). +)-(f. №. Я))+(</, "), Я).
или
((f, *), я) + ((1>, Я), /) + < (Я, /), t),
а это тождественно равно нулю в силу (5.28)\
Таким образом, доказано, что
д
dt
(/, +) + ((f, *), Я)=0,
*) То есть f(tt qu q", ,Рь Рг, ..., Р*) - с является пите-гралЬм
канонических уравнений {5,24). - Л* ^ .
§5.5] КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ , 137
Т- е. (/, ф.) является интегралом канонических уравнений (5.24). При
нахождении нового интеграла при помощи теоремы Якоби - Пуассона следует'
иметь в виду, что он может оказаться тождественно равным нулю или быть
функцией от ранее известных интегралов (т. е. не будет независимым).
Пример 43. Для свободной изолированной материальной точки выполняются
интегралы количества движения
рх^тх = С1, Ру^ту-Сь p2*=mz = cz и момента количества движения
= ypz-Zpy^Ci, Ky"=zpx-xpz=cb, Kz-XPy-ffPx-Ct.
Покажем, что
(/<*> А у) - Kz - С"б*
Б самом деле,
дКх дКу дКл дКу дКх дКу дКх дК
у

(КХ,КУ) = ~^--------------Л --i- v ,
& дх орх дрх 6х ду дру ору ду
дКх дКу дКх дКу
+ a* эРг ~ dPz ~dz -<-?,)(-*)- W* " *Ру " VP*=**
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 64 >> Следующая