Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Введение в аналитическую механику - Бутенин Н.В.

Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику — М.: Наука, 1971. — 264 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievanaldinamiku1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 64 >> Следующая

откуда и находится искомое преобразование.
3. Пусть производящая функция будет функцией
Ц\у Ц%у Ц5у Р\У Р'2> " • * ? Ps И Т. е* ф=='ф(<7р
• • •" Рр Р2" ¦ ¦ ¦" /V 0* Примем, что
1 q2> **•> Рр ...) Ps, S
m = 1
и подставим это F в соотношение (5.49):
2ра-я=2/4С-я' + -^+
m-J m"i
^ dpm Pm ^ QtnPm*
m= 1 /л-1
148
КА1ЮНИЧЕСКИ E УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
[ГЛ, 5
Отсюда получаем .. .
+ (я - Н' +.-?) =°.
Это соотношение удовлетворяется, если
, =__^L q =_М- Н' = Я + - (5.52) Рт Чп т Эр* д1
'.г " • . ,
(m - 1,2, ..., s).
Из уравнений (5.52) определяется. искомое преобразование.
4. Пусть производящая функция яр есть функция /, старых и новых
импульсов, т. е. р.2> •*.*> Ps> Р%
р'2, .,p'st t). Выберем
I/^ij5(p|t pv psf p\y p'27 ..., prs,t) -
$
S pLql + 2 РтЯ"•
m> m ,
m=> i m= I
Соотношение (5.49) будет иметь вид
S
$
У, Pjm - Н = 2 ^ + Ж + Zl 17 /'m +
m"=l m=l m=^l m
я s s
'+ Л ~ГГ Pm " ^ " S
m-1 m=l m = l
. m=i m=i
ИЛИ
+ (Я_Я'+-Ш = 6.
§5.5] КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ - 143
Это соотношение будет удовлетворено, если
4т - -~Г' Н' = Я + ~ <5-53>
дРт дРтГ dt
я •*
# •
(т = 1, 2, . *5).
Очевидно, что, задавшись какой-либо функцией У(Рт> Рт' О" из уравнений
<7га= - (m= 1, 2, s)
можно найти р'п как функции /, q рм. Далее, в уравнения
Ч'т^-рг (m=t,2_______________ s)
подставляются найденные как функции /, qm) pm, и,
таким образом, находится искомое преобразование
(5.32). -
Пример 44. Пусть производящая функция имеет вид
S
Ф Рт* О /т {^1* *?2J ' ' ,J tfs* 0 Pflt ^2* *" •* 0е
т - 1
¦V ¦ • •
. • •
На основании зависимостей (5.51) имеем
S
Cfjft • / , &fo г 1 л V
Рт~ JL 1кЫ Рт = ' ' "
m= 1
# (
(?1> ?э" * • - > 0 (/^ " X1 - * Ti? 5}j
••
т. e. при таком каноническом преобразовании обобщенные коордн-
. / f г
наты . qj, g2> Я$ и *7]> .....<7s преобразуются только между
собой. Такие преобразования называются точечными.
Пример 45. Для Цилиндрических координат г, <р и г введем обозначения <?i
- г, q% - ф, <73 = z. Рассмотрим свободную материальную точку,
находящуюся в поле силы. тяжести. Для такой точки
1
"
т~-кт{о\+ ц\я\ + 4), П = mgq3:
Р\ - Щ\> р2 ~ Щ*Я2> Рз = m(h-
150 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА 1ГЛ.'5
Поэтому
и = - (р\ + Ц. + pi 1 + mgqз,
2 т \ q\
Рассмотрим каноническое преобразование, получающееся при производящей
функции вида
ф = p\ql cos q2 -f p'2q j sin q2 + pjfo На основании (5,51) имеем
J
Й
I
J
Р\- dqi -Pi
Р2 = дс/2 =
Рз = dqd. s== Рз
Т <3ф
dp\
Q\ cos qcj.
, г>ф
Ъ = Т/ = {h sin ^ dp2
r d-§ _
$3" д T~ %'
връ
Из первых трех уравнений находим
р\ *= m (<7j cos <?2~<7j<72 sin ?2) =
Рз = m (^, sin ?2 cos <?2) =
Рз = т%=тЪ'
Новая функция Hr будет иметь вид
=~L W1!+p2s+й2)+
Очевидно, что новые координаты q\t q'2* <?з являются декарто-
выми координатами точки.
Пример 46. Рассмотрим прямолинейное движение точки год действием
восстанавливающей силы F " с 1 х [, где к - расстояние точки от
притягивающего центра, ...
§5.5] КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 151
Приняв за обобщенную координату координату х. т. е. положив <7 = х}
найдем выражения для кинетической и потенциальной энергий:
Т = ~тК П=^1.
Так как L - Т - П = -4-(w<72 - cq2), то
*
di
р=>-щ=тч-
Напишем выражение для функции Гамильтона! •
. K = pt-L-±*i +
?
где А:2 - -Составим канонические уравнения:
дН 2 , дН р
р -----j- (tm) -trmq, q - --- --,
cty с>р /гг
Так как рассматриваемая система консервативная, то функция Гамильтона
равна полной энергии системы, т. е. Н = А. Найдем такое каноническое
преобразование, при котором бы новая функция Гамильтона не содержала
новой координаты q', а новый импульс входил бы в первой степени, т. е,
H'=kp\
Воспользуемся вторым типом канонических преобразований, когда ¦ф = (g,
р'). В соответствии с формулами (5.51) И = H't т, е.
Lit
2 I т
Отсюда
(¦?+к2тч) - кр'-
и
- - У 2ткр' - k2m2q (5.54)
Q
ф = Г ~lr2mkp' - k2m2q dq.
Так как
о
Ч'
ч
дф Г
dtf J
mk dq
dp' J \f2mkp' - k2rnAq *
о
TO
, . f km
q = arcsm у q
и
-V
2 p' , , -L- sm q\
km
152
КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
[ГЛ, В
Из формулы (5.54) получаем
p = Y2mkp' - k2m2q2 - У 2ткр' cos q\
Новая координата (f является циклической, так как она не входит в функцию
Гамильтона. Следовательно, новый импульс является постоянной величиной
Координату q' определим из канонического уравнения
Следовательно, <f - kt -f- е" и, значит,
Г Л А В А 6
ТЕОРИЯ ЯКОБИ
I "
§ 6.1. Уравнение Гамильтона - Якоби
¦ 1 "" •
Пусть движение голопомной системы описывается каноническими уравнениями
Га мильтон а
' = дрт * РТП " _ ~dqni (m = 1' 2" * * •" s)* №-0
• ¦
В § 5.3 было выяснено, что наличие k циклических обобщенных координат у
рассматриваемой системы позволяет получить для этих координат решение
(5.23), В связи с этим естественно поставить вопрос о возможности
нахождения такого канонического преобразования, при котором в
преобразованных уравнениях Г амильтона функция И1 не будет содержать
обобщенных координат, т. е. все новые обобщенные координаты будут
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 64 >> Следующая