Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Таранина И.В. "Гражданский процесс в схемах " (Юриспруденция)

Смоленский М.Б. "Адвокатская деятельность и адвокатура российской федерации" (Юриспруденция)
Реклама

Введение в аналитическую механику - Бутенин Н.В.

Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику — М.: Наука, 1971. — 264 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievanaldinamiku1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 .. 64 >> Следующая

h следует,
8*
236 ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ (ГЛ. &
Принимая to - 0, перепишем выражение (8.44) в виде
<" Т7= | dX- (8-5 [ >
>2 г J у у
Таким образом, поставленная задача сводится к нахождению минимума
интеграла (8.51), т. е. к нахождению функции у(х), при которой этот
интеграл имеет наименьшее значение. Уравнение кривой у = у(х)
определяется из уравнения (см. (8.43)):
(/Га
1х [с?г/'
YI +/
dx t ду' V УГ~У
У\ + </
ду \ Vy
= 0.
Производя необходимые вычисления, получим
2УУ" + О + /) - 0.
Вводя замену и = у\ имеем
• •
2и du dy . 1 4- ый ~ у
Отсюда
In (1 + и2) - In Ci - \ny
и
Cl
y~T+sT'
где С\. - постоянная интегрирования. Так как
dy
dx
где 0 -угол наклона касательной к кривой у - у{х) (рис. 8.5), то
У ¦" ! + ^гр~ cos2 0 = ~2~ (1 + cos 2е)- (8-53>
Из соотношения (8.52) находим dx - ctg 0 dy, а из формулы (8.53)
dy** -Ci sm 26d$.
Значит,
dx - - 2сi cos2 6 d0 = ¦-C\ (1 4 cos 20) dQ.
Отсюда
x ~ (20 4- sin 20) 4 с2, (8.54)
где C2 - постоянная интегрирования. Кривая, определяемая ура вне-ииями
(8.53) и (8.54), представляет собой дугу циклоиды.
ГЛАВА 9
. "
• ш Ш т т ¦
НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
* ¦
* *
• * I * * • • •
§ 9-1- Явный вид уравнений Лагранжа второго рода
\ • , ¦
• • . * . * • ' . • : • %
¦ • \ # ¦
Пусть рассматриваемая материальная система подчинена голономным связям.
Тогда кинетическая энергия системы выражается фор му лой (3.43):
Т = ~2 ^mpQmQp "f~ BpQp TQ, ; (9- 0
m- I p=\ 1
где Го и коэффициенты Атр, Вр - функции обобщенных координат и времени.
Находя
5
dqm = мы АтрЯо + &пп /?" 1
дТ 1 дВр дТо
1 V* оа"р .• ¦ , V dBp - ,
- 2 Zi 2i^rWp+hжг^+
dtfm 2 лвА мал dcfrn ^ dqщ & dqm
¦ д-1 р=1 р=1
я подставляя полученные выражения в уравнения Лагранжа второго рода
d
dt
ПОЛУЧИМ
ж[ЪА^р+вт\-^
\p=l / 14-1 p=l
yi dBp . __ dTc _
Zi 0qm 4" dqm ~ Чяе
P~l
238
НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
{ГЛЛ 9
Отсюда
5 S $
Xt л - V VIдАтр 1 дАм\ * ¦ ,
2j АтрЯр + 2и 2i { а<7д 2 dqm) Qvflp +
р=1 Ц"1 />¦=!
?
I + y^Ld +^-(tm)L=Q
^ AXaqp dqm I Ju dt q'> + a( dqm 4m
P*= I P=1
(m = 1, 2...................s),
или
s s s
V A - " V V / 1 \ A д r "
2i + 2u 2j [ dgn 2 dq"i j m +
p= l Ц=1 p=l
+ S ^ + ^ -? = <?"• " ь 2,.... s), (9.2)
p=l
S ' . '
где (стр. 79) = 2 УтрЯр называется обобщенной
p"i
*Г _____ Л Г
гироскопическои силои, а
Ymp- У рт ддт ддр
(т = 1, 2, ..., s; р = 1, 2, ..., s)
- гироскопическими коэффициентами.
Для стационарных связей получим
X} л - I. V V /d'W 1 \ _ Л
Апг<?р + 2d 2i\dqp. 2 dqm)q*qP
р=>1 ц.=1 р=1
- • (/??¦ " 1) 2, I • >} 5) *
§ 9.2. Метод вариации постоянных
Предположим, что рассматриваемая механическая система описывается
дифференциальными уравнениями
Р=1 Д=1 Р=1
дВт . , ,1Г1 дА-щр m дВщ дТ0
/ UDtn v&p \ . .VI unmp . v-d/д vi 0
+ 2i w?7 " Ж7 gp 2i at <7<'+ дг ~ a4m
P*"l p(tm)l
"и+о;- (9-3)
§ Q SI
> МЕТОД ВАРИАЦИИ ПОСТОЯННЫХ
239
Предположим, что система уравнений (9.3) при Qm-О (т - 1, 2, s) имеет
решение
си с2) ...у Съ) (т = 1, 2, ..s). (9-4)
¦ я. . " .
# I
_ ' . *
Метод, вариации постоянных, предложенный Лагран-жем*), заключается в
следующем: пусть найдено решение системы (9.3) при Q^ = t> (m = l, 2,
s), т. е.
определено движение системы под действием основных сил Qm; предполагая
теперь, что дополнительные силы Q*m, которые называются "возмущающими",
достаточно
малы по сравнению с основными, решение системы уравнений (9,3) ищут в
форме (9.4) / причем величины Си с2, ¦^считаются уже не постоянными, а
медленно меняющимися функциями времени*
,\^-Итакг.фудем -искать решение сйстемы: уравнений (9,3) в виде решений
(9.4), считая величины fi, са, .c2s функциями времени. Дифференцируя,
решение '(9.4) по времени, получим ;
2-S
^ + lit<9-5>
к
Так как обобщенных координат qm столько же, сколько степеней свободы, т.
е. s, а число функций ск равно 2s, то -Сь можно связать по собственному
выбору. Выберем эти функции Сь такими, чтобы первые производные от qm
имели бы такой же вид, как при постоянных ск, т. е,
(т= 1, 2, ..., s) (9.6)
и, следовательно;
2s
?
dq
т
дск
с* = О (m = l, 2, s). (9.7)
*) Ж- Лагранж, Аналитическая механика, пер. с франц., Гос тех из дат,
1950, стр. 412-437,
.-240 НЕКОТОРЫЕ- МлТОДЫ^ТЕОРИИ! ВШМУЩЕгШЯ [ГЛ. 9
Далее находим
Ят =
dt2
dt дс
к^= 1
к
ск (щ = I, 2, .... s). (9.8)
¦ •
: Подставляя теперь выражения! (9.6) и (9.8) в уравнения (9.3) и принимая
во внимание, что при постоянных Си обобщенные координаты являются
решениями уравнений (9.3) при Q* =0, имеем
* - г
S1А
р=\ к^\
дгЧр_
"!> dt Ос, * * 'm
¦ Л
(9.9)
или
2s
У. (а
^1: 1 Л
"Г а/ ^ т2
<?* ас
¦4" А
к=1
\ / _ п* ^dtdc.) * /_т'
(9.10)
Соотношения (9.7) и (9.10) представляют собой систему, 25 уравнений
относительно производных-¦ ойЛ-Вяод я Обозначения •
ft:
= л
d2qx
тк * wi qi QCt "I
4-Л
m2
dt дс
-Ь *.. + л
к
.Pm/г
H
m
dc
(m - 1, 2, ..., 5; k - 1, 2, ..25), (9.12)
перепишем соотношения (9.7) и (9.10) в виде
^amk^k Qm' fc=l
2s
\ (m = 1, 2, ..s). (9.13)
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 .. 64 >> Следующая