Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Таранина И.В. "Гражданский процесс в схемах " (Юриспруденция)

Смоленский М.Б. "Адвокатская деятельность и адвокатура российской федерации" (Юриспруденция)
Реклама

Введение в аналитическую механику - Бутенин Н.В.

Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику — М.: Наука, 1971. — 264 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievanaldinamiku1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 .. 64 >> Следующая

Решая эти уравнения относительно ckt получим
tn+k \ л*
mfc^fn
Ck
д
(к -1, 2, .... 2s), (9.14)
§ 3.2]
МЕТОД ВАРИАЦИИ ПОСТОЯННЫХ
241
где
Д"=
"11 tt!2 * * * (r)1,2s
% "22 * * ¦ &2t 2s
"si "s2. * * ¦ 2s . ¦
I • * " Pi,2s -
§21 X m ¦ • • ¦ ¦ " A" • P2, 2s
9- " P,] + ¦ &2 t * " * * * * Ps, 2s
¦
(9.15)
7//У777?"
X
Рис. 9.1.
%
а т• Атк - минор определителя .., (9.15) >. соответствующий гп-й строке и
/г-му столбцу. Соотношения (?.14) являются уравнениями для определения
функций сь и ^ называются уравнениями ^vwvywy возмущенного .. • движения,
'/777777,
Уравнения (9.14) представ-ляют собой, уравнения (9.3), преобразованные к
новым
переменным с*, и их решение, вообще говоря, не менее трудно, чем решение
уравнений (9.3). Но если возму-
т достаточно малы, то функции можно считать медленно меняющимися
функциями времени и применять к отысканию решений уравнений (9,14) раз-
личные приближенные методы.
Пример 63. Тело массы т, прикрепленное к неподвижной преграде пружиной
жесткости с (рис. 9.1), может перемещаться по го-ризонтальным ;
прямолинейным направляющим. Возмущающая сила, действующая на тело, имеет
вид: F = ef{x, х), где г - малый параметр.
Поместив начало координат в точке, соответствующей положению тела при
ненапряженной пружине, примем за обобщенную координату q ~ х - отклонен
ие тела от начала координат. Кинетическая энергия и основная обобщенная
сила выражаются формулами
СХ,
и, следовательно, А и ~ tn. Уравнение движения тела имеет вид
mх = -сх + e,f (jt, х).
При е - 0 решением уравнения будет 1 : 1.
х - Ci cos kt -f- с± sin kt.
242
НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ: ТЕОРИИ . ВОЗМУЩЕНИЙ
1ГЛ, Э
где k=Vcfm, Так как дх дх
dCi
то
cos kt,
дс<
sin kt,
д2х
dt дс
i
- - k sin kt,
dsx
dt dc2
= k cos kt,
Д =
-mk sin kt mk cos kt cos kt sin kt и уравнения (9.14) примут вйд
= -
mk
f (x, л) sin kt,
где
X = C\;COS kt-f C2sin kt,
x == -rCj/f .sin ki .4 .c2k cos kt.
Вводя замену
Ci~a cos c2 - a sin ft,
получим
e
6. cos # - йФ sin # -----------------------------------------------------
------------j- f[a cos (kt - Ф), - ak sin {kt - fl)J sin kt,
f, • ' : . v= , "
¦ ¦ T • •
• ¦ ¦ ¦¦
* ?
a sin 'O' 4- йФ cos т) ~ -- / \a cos {kt- 0), -ak sin {kt - $)] cos kt.
Отсюда
a= -
mk
mk
f [a cos {kt - ¦&), - ф sin {kt - Ф)] sin {kt - #)"
СГ&
8
mk
f [a cos {kt " '&), - ak sin {kt - Ф)] cos {kt - Ф).
Если e достаточно мало, то a и будут медленно меняющимися функциями
времени, т. е. такими, изменением которых за время

Т--- можно пренебречь. Поэтому вместо полученных уравнений & ... ; .
можно взять "укороченные^, т* уравнения с осредненными пра-выми частями
*):
?л/й
е
Ч "
а - -
2пт
f [a co$ [kt - О), -ak sin {kt - "O')] sin {kt - d) dt,
о
2я/й

2nm
f [a cos (kt - ¦ft), --ak sin {ki - Ф)] cos (kt - *d) dt.
о
*) H. H. Боголюбов, Ю. А. Митропольский, Асимптотические методы в теории
нелинейных колебаний, гл, V, Физматгиз, 1953. :
5 0.21
МЕТОД ВАРИАЦИИ ПОСТОЯННЫХ
После замены % = kt - Ф имеем

I
а^ = ~Шт J ^acos^ -в* sin ?) cos g
6
¦ • ¦
____ ¦.
Предположим теперь, что возмущающая сила складывается из малого
сопротивления движению, пропорционального скорости, и малой
подталкивающей силы, действующей только по направлению движения, т. е.
F - - Ьх -f* Н' sign Sct. ¦
- . ¦ • ш jT
где Ь и Н' - постоянные величины. Введем малый безразмерный параметр
Ъ
Р "= ---- *
тк*
тогда •
F = 8 (- ткх 4- Я sign а:) - е/ (дг, х),
где
" H'mk , * . гг
И - -•¦/=- mftx+H sign х.
¦ •
Укороченные уравнения теперь будут иметь вид

е
& =

о
J ^ak sin 14- sign (-ak sin |)J sin ? d§,
^ = ~ J \ak si" I + signl-bk sin |)1 cos I d|.
• • ml
0
Отсюда после интегрирования получим
а Л ak 1 2Я Ь Ш. аЬ л=п
V 2 nrrtk) mk 2т *
Следовательно,
4Н' /АН' . \ "4' . "
" = ~п:-I -гг- - "о I е ; ft = t>
bk
О"
где "о и 0О - начальные значения а и д. Таким образом, имеем
, \*ГГ /4У //., л.
[ 6А1 \ bk °) J cos (kt Ъ0).
244 НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ 'ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. '9
Это значит, что при i -*- оо при любых начальных условиях движение будет
происходить по закону
АН'
X =* COS {kt ~ %),
т.-е; тело5 будет совершать незатухающие колебания'с Ям пли ту до Гг, не
зависящей от начальных условий. Такое движение называете#
автоколебательным*);
Пример 64. Рассмотрим влияние сопротивления ¦ атмосферы на движение
свободной, тяжелой точки в однородном, гравитационном лоле Земли,
пренебрегая вращением Земли.**). Движение точки происходит в вертикальной
плоскости. Направим ось у вертикально вверх, ось у - горизонтально. .
'
Если с/\ ~ х и Q2 == у - координаты. точки, то выражение для кинетической
энергии имеет вид .. .
• ; 1 '
¦ 'I ¦ -ч
Т = - т(х2 + у*) : ''
U ¦ ¦ , * , ¦
¦ - - ¦ * . I ¦ . - .¦ '--i ; - : :
и, следовательно,
Ац = т, А)2 - О, Л22 ~ т.
• т
Основные обобщенпые силы равны
Qj - 0, C?2 = (tm)mg.:
Будем считать, что сопротивление атмосферы мало и является" функцией
скорости .точки. Сила сопротивления направлена по касательной к
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 .. 64 >> Следующая