Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Введение в аналитическую механику - Бутенин Н.В.

Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику — М.: Наука, 1971. — 264 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievanaldinamiku1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 .. 64 >> Следующая

249
Следовательно,
аи = 0, а12 = - пт sin of, а13 - ты cos Ш, щ . =- "15 = ai6 - О, a2I = -
3m, a22 = - 2/гасо cos ю/, a23 - - 2яка sin со/, aSi = ct25 - a2$ = 0, ~
0, ct32 - 0f a33 - 0, a34 = 0, a3S - - ma> sin <?>t, a^e == пш cos <ot,
2
Pu"77" Pia^cosorf, pt3 = sill <ait ^ Pie = 0,
\U
021 = - 3*. j^22 ~ '2 sin a*, p23 = 2 cos Oif, p2t - 1, pS5 = p26
=0,
Psi = p32 - Рзэ = Рз4 ~ о" fes = COS 0yt, p3e = sin to/.
Вычисляя определитель (9*15), получим Д=- т\й2.
Тогда согласно выражениям (9,14) будем иметь
Ci - Ф^ю,
с 2 = - Фд sin &)/ - 2Фу cos &t,
. Сз = Фд: COS i&t - 2Фу sin со/, с I - - 2ФГ -f Зй/Ф^,
Отсюд
?
с$ - - Фг sin &t,
ёе - Фг cos ю/.
f "V dt.
с> - с2о "¦ j (Ф, sin "а/ + 2Ф" cos (c)/) dt,
О
f
= ^зо *f*
0
i
€4 - Г40 +
0
/(•, cos mi - 2Фу sin (c)/) dt,
J (З(д/Ф^ - 2Фд-) <?/,
*
^5 =* ^so - J Фх sin mi dt,
0
i
f Фг cos (c)/ dl,
где t'io, ("20, с so, c4o, Сво, ceo - постоянные величины. С помощью
полученных формул при конкретно заданной силе можно определить
возмущенное движение точки.
?50
НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 9
§ 9.3. Метод вариации постоянных
при использовании уравнений Гамильтона
Канонические уравнения возмущенного движения
Предположим, что движение рассматриваемой динамической системы
описывается каноническими уравнениями
Чт =
д(Н + Н*)
др
т
д (Я + /Г)
Ьц
т
(9.16)
_ * ¦
где Я-функция Гамильтона, составленная для системы при ее движении под
действием основных сил, а функция. Я* учитывает дополнительные
(возмущающие) силы, Считая, что решения
Яш Яш (^" ¦ * *> Pi* Р2" < * • j Ps)>
Pm ' Pm • i (r)s" Pi" Р2" * ¦ * > Ps) J
(m= I, 2, ..5),
(9.17)
где ось &2, pi, p2, .P# независимые постоян-
ные, системы уравнений Гамильтона
дН
т
дР
т
Рт
дН
dq
tn
(т= I, 2, ... , $) (9.18)
известны, будем искать решение системы уравнений
(9.16) в форме (9.17), считая, что величины аи аг, ...
р2, ..., ps - функции времени. Предполагая, что уравнения (9.17) можно
разрешить относительно величин cti, * c(,s, pi, р2, ..., получим ;
¦ Т
> Яп Я%* * * *" Яв1 Ри Р2* * * *" Р&)>
Р/n Рт (^" Яь Я2у * * Я&7 Pi* р2> * " ¦) Ps)
(9.19)
" i
•1
МЕТОД- ВАРИАЦИИ ПОСТОЯННЫХ
251
Найдем производные от сст и рт по времени:
т dt
s
ft-1
Учитывая уравнения (9Л6), перепишем эти выражения в виде
" л
$
л дат J_ V
Яш-!"2<
• - л-i
S
дам д (// + Я*) а (Я -f Я*)
3<ik . дРц ;
й _ ДРш I УРР" <?(W + я*) эрт й(я + я"}1
ы ^ . дРк а% J
Я = 1 ' • ; = ¦" ¦ • ' * • *
. * *
(т^ 1, 2, ..5)"
Вспоминая определения и свойства скобок Пуассона
(5.27), можем записать
"га - %-+ (ami Н + Н') = -^-+(а,", Я) + (ат> Я*),
; ри = +(Рт, Я + Я*) = ^- + fc, Я) + (рт> Я')
* • • •
• ¦ • • • •
(т = 1, 2,..s).
• •
л*
Поскольку функции (9.19) при ПОСТОЯННЫХ ам И рт является интегралами
системы уравнений (9.18), то в силу условий (5.29) имеем
%- + (аи,Я) = 0 (m=l,2,...,s),
ЭР
т I
dt
+(Pm, Я)=*0 (m = 1, 2, .... s),
252 НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ-ВОЗМУЩЕНИЙ' [ГЛ. 9
и, следовательно,
s
"т = ("т. Я') - J) (
А=1 ' s
Рт = (ft,,. Я*) = '
*-1.
дат д/г дН'
дР" дрк дч
дН' dfim дН'
дЧк дРк д!>к дЧ
. 2, . с\ 4 4) Of1*
} (9.20)
Уравнения (9.20) являются уравнениями возмущенного движения.
В § 6.1. было показано, что если можно найти решение
ij) "ф (ft ($2* • * •) ?si (r)]f (r)2" * * * i
(где au "2, ..., "s - произвольные постоянные) уравнения Гамильтона -
Якоби -
¦
n{t, qu .....TtyB+lif = 0> (9'2l>
то решением системы (9.18) будет
= ftn = -^- ("*=1.2......s), (9.22)
в которых 0|, р2> ¦ • *, р" - произвольные постоянные. Решая эти
уравнения относительно qm и рт, мы и получим выражения (9.17).
Поскольку решение системы (9.16) ищется в форме
(9.17), то, считая си, аг, рг, функция-
ми времени, выражения (9.17) можно рассматривать как преобразование
переменных qm и рш системы (9.16) к новым переменным $т и ат. Покажем,
что такое преобразование будет каноническим. Для этого нужно показать,
что выражение (5.49), т. е.
Я $
2 РтЧт - Ш +Ю= (9.23)
m = l m=i
при выполнении условий (9.21) удовлетворяется тождественно. Выбрав
функцию V в виде
S
^ Чь 9 я л f Qsу (r)*2* * * * * ^>v) ~
m - i
% *.31
МЕТОД В л РИ л ции постоя нн ых
255
найдем
i . ¦.
dt
-st
' :m = 1
<?l|?
<?<7ш
• - , _^Ф
*m) + ~ S "mPm - 2]amp
m
m=l
m-1
Подставляя, эту производную в выражение (9.23) и учитывая условия (9.22),
получим
(Я +¦¦//*)
Я' +
а/ '
1 ' - ¦ • ¦ ¦ ¦ • т. е. преобразование будет каноническим, если новая
функция Гамильтона равна
¦
дф
Я' = /Г+ Я +
dt *
Но в силу .уравнения (9.21)
Н +
<9^ _
~дГ~
О,
и, следовательно, Н'~Н*.
Таким образом, новые переменные будут удовлетворять каноническим урав-
z.k г М
dir д дН*
Рт Д
нениям вида
Йри
(т = 1, 2,..., s).
(9.24)
' Пример 66. Движение материальной точки относительно вращающейся
Земли*),
.Будем считать Землю однородным шаром радиуса R.
Пусть точка А на земной поверхности определяется полюсным углом Оо (рис.
9.3) и долготой Я.0. Исследование движения точки- проведем относи-тельца
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 .. 64 >> Следующая