Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Таранина И.В. "Гражданский процесс в схемах " (Юриспруденция)

Смоленский М.Б. "Адвокатская деятельность и адвокатура российской федерации" (Юриспруденция)
Реклама

Введение в аналитическую механику - Бутенин Н.В.

Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику — М.: Наука, 1971. — 264 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievanaldinamiku1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 64 >> Следующая

. • * •
* • •• • * ф •
^ * • //(*/> й-> 2"> <) = 0 (/"= 1,2......... к).
Будем предполагать, что любое положение материальной системы, совместимое
со связями, однозначно определяется при помощи функций (1.36) некоторыми
значениями параметров ди Яь - ¦ * > Я*- Эти независимые между собой
параметры qu q2, ..., q9 (s - число степеней свободы) называются
обобщенными координатами.
Уравнения (1.36) могут быть записаны в векторной форме:
1*1 ~ У if- f{[qi) q2" * • м Q&* 0* (1.37)
• ¦ ¦
г ¦
При наличии стационарных связей.функции (1.36) можно выбрать так, чтобы
они не содержали явно времени t, т. е, имели вид
§' i i+}
ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ. ОБОБЩЕННЫЕ СИЛЫ
23>
При этом радиусы-векторы точек системы также будут функциями только
обобщенных координат:
fI ' ?l (ftj * • ¦" Qs) (t ~ 1, 2, • • t) /1). (1.39)
Пример 6. Положение сферического маятника длины I можно определить двумя
углами ^ = 6, ^ - ф (рис. 1.6),
Уравнения (1.38) в этом случае имеют вид
ь •
- X =* I sin 0 COS ф ~ I sin Qi cos ?z>
• "
у - I sin 6 sin ф = sin ^2,
2 - I cos 0 = I cos q\.
Дифференциалы от функций предположении; что время i фиксировано, имеют
вид
(1,36), вычисленные в
S'
2xt= У
дн
m-1 з
da
dq Чт'
т
г".-У
dyt
dq
ту
dzi =
&Qm т*=Х
Ж-I
Рис. 1.6.
Найдем дифференциалы при фиксированном t от тождеств, которые получаются
из уравнений связей после подстановки в них функций (1.36):
• ф •
// (^?з У1у 0 = ^ 0 = ^ * * * ?
г
• в S'(Ц-*Xt+-жЗу'+ж**•)"0 </=1-2- *)•
? =* 1 ¦ ¦
Полученные уравнения совпадают с уравнениями (1.26). Следовательно,
дифференциалы Зхи <tz% совпадают с вариациями координат 6xft by и 6zi4
Таким образом, мы установили "рецептуру" вычисления вариаций координат.
Как для стационарной связи,
24
V
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. АН АЛ ИТИ ЧЕ СКО Й;-МЕХ АНИКИ (ГЛ. I
так и для нестационарной вариации координат будем вычислять по формулам
"" ir." - л
- -r J I
Здесь
"X,- j
m=1
dxj
dqm
*,-2
¦
m = 1
tty
m
IV
~ &Qtn
(1.40)
называются вариациями обобщенных координат.
В соответствии с выражениями (1.37) и (1.40) виртуальных перемещений
будем иметь
для
dt.
6r'=Si: .*"•
т=1
(1.41)
Подставляя соотношение (1.41) в выражение для виртуальной работы
П
: ЪА = 2
4 = 1
получим
m=l
i = l
ВносяF* под знак второй суммы и меняя порядок сум мирования, будем иметь
ЬЛ
" *
§*.4i
ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ. ОБОБЩЕННЫЕ СИЛЫ' 25
Суммы
X . •

О -= V F •
Vm ZJ * дд i=l
m
- s (*¦
'/= 1
d<7
' ь у(4^-+2,4^-)
&Qm. I
rn
in
¦ •
называются обобщёнными силами. Каждой обобщенной координате <?т
соответствует своя обобщенная сила Qm*j- Итак; =
S
6Л = 2 Qm &Qт - Ql &7l +
т= I
Рис. L7.
-j- "Ь * - - 0 -43)
¦¦ .
. • *
Выражение (1.43) позволяет дать следующее определение обобщенных сил:
обобщенными силами называются коэффициенты при вариациях обобщенных
координат в выражении для виртуальной работы.
Пример 7, Однородный стержень ОА, вес которого Р, может вращаться вокруг
перпендикулярной к нему горизонтальной оси.. Oz без трения (рис. 1.7). К
концу А стержня прикреплена пружина
О [А = I. Точка Oi крепления пружины находится от точки О по
вертикали вверх на расстоянии, причем OiO = О А - г. Длина пружины в
ненапряженном состоянии равна /о- Найти обобщенную силу.
За обобщенную координату примем угол ф. Тогда будем иметь
xA±rccsy, у А*= г sin ф,
7г cos Ф> Ус "
sm ф,
гДе хс, ус-координаты центра тяжести стержня. Сила, действующая на конец
стержня А со стороны пружины, равна
Pt-c\t-k\t
*) Отметим, что размерность обобщенной силы равна размерности работы,
деленной на размерность обобщенной координаты.
28 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. J
Найдем виртуальную работу
&А = A j &Xi 4- У1 бг/ j + А'2 6дг2 + У 2 + A 3 Ьх3 -1- Y 6г/д.
Так как
-
6^] ~ 0, byi ~ 6s, Ьх2 = 0, 6s+ 21 cos ф 6ф,
6а'з - -/sin ф6ф, by^ - bs + /cos <рбф,
то
6<4 =! - (5 4- Xj) 6s 4- с 2 (я - s - X.j - 21 sin <j>) (65 -f- 21 cos
ф 6ф) -?: •
~ Psl Бт:ф 6ф~ [ - Cj (s + Xj)-b c2 (a - s.-.Лj - 21 sin g>)] ds +
¦ ¦ ' ?
4- [c2 {o, - s - - 21 sin ф) 21 cos ф - P$l sin ф] бф.
Следовательно., ...
¦
Qi " - Cj (s 4- Я j) 4- c2 (" - s - Я j ~ 21 sin ф),
Q2 = c2 [a -s - %{ - 21 sin ф) 21 cos ф - Р5/ sin ш. \
¦ ¦
ГЛАВА 2
ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
* * •
§ 2,1. Принцип виртуальных перемещений
I %
Ч-
Принцип виртуальных, перемещений является принципом механики,
устанавливающим необходимые и достаточные условия равновесия (покоя)
материальной системы.
Пусть материальная система подчинена k голоном-ным стационарным связям
// = Уи У2* а2у ¦ * *> Ун* 2я) ^
(/-1,2_____
Дифференциальные уравнения движения этой несвободной системы имеют вид
nijW) = F* + (г = 1, 2, :.., п), . (2,1)
где i - номер точки, Wi-ее ускорение, Шг - масса, Ft и Ri -
соответственно равнодействующие всех активных сил и реакций связей,
приложенных к /-й точке.
Под равновесием (покоем) материальной системы будем понимать такое ее
положение, в котором система будет находиться все время, если она в
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 64 >> Следующая