Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Таранина И.В. "Гражданский процесс в схемах " (Юриспруденция)

Смоленский М.Б. "Адвокатская деятельность и адвокатура российской федерации" (Юриспруденция)
Реклама

Введение в аналитическую механику - Бутенин Н.В.

Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику — М.: Наука, 1971. — 264 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievanaldinamiku1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 64 >> Следующая

начальный момент времени, имея скорости, равные нулю, находилась в этом
положении. Отсюда следует, что в положении равновесия материальной
системы скорости и ускорения всех ее точек равны нулю, т. е.
= 0, Wi - 0 (i ~ 1, 2..........п)
или, в соответствии с уравнениями (2.1),
V( = 0, Fi + jRj " 0 (* = 1,2,..., п). (2.2)
30 принцип виртуальных перемещений {гл. %
¦
Сформулируем теперь принцип виртуальных перемещений.
Необходимым и достаточным условием равновесия го-лономной материальной
системы, подчиненной только идеальным связямt является равенство нулю
работы
всех активных сил на любом виртуальном перемещении
¦ - \
точек материальной системы, т. е.
X.F, ¦ Ьгч =-0. . (2.3)
Кроме того, а соответствии с определением .равновесия
Vi (to) =0 (i - 1,2,..., я), где U - начальный момент
времени.
Докажем необходимость этого условия. Пусть система находится в положении
равновесия*. Это значит, что выполняются-условия (2.2). Умножим скалярно
второе выражение этого условиям на вектор виртуального перемещения t-й
точки:
6rr (FL+Rf)=*0.
Это выражение справедливо для любой точки материальной системы. Складывая
все эти выражения, получим
"
S (Р, + Я,) • 6гг = О, '
*--1
или ¦
i:p,.er,+-2A-'ar,-o.
г-i. i=i
-
Таи как по предположению связи; наложенные на систе-
' П
му, идеальные, то дг,;=0 и, следовательно, *
i = 1. •
• • ¦ • • •
п
2.^1 ¦ бг/ = о.
i-i

Скорости же всех точек равны нулю по предположению.
Докажем, что условие (2.3) будет и достаточным условием равновесия
системы.
Очевидно, для этого достаточно показать, что уравнения (2.2) являются
следствием условия (2.3). Запишем
ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ 'ПЕРЕМЕЩЕНИИ #1
2Л]
¦
условие (2.3) в виде
2 C^i Н" У^ Zi 6izD = 0, (2*4)
где Xit Yh - проекции силы F{ ка оси координат. Вариации координат бя*, 6
у и б Zi подчинены k уравнениям
,(1.26):
S(1^Ьх'+ЖЬу'+~skбг<)= 0 '^"1'2'
• ¦ Умножая эти уравнения соответственно на неопределенные множители
Лагранжа й2)-.... />* и складывая затем полученные выражения, будем иметь
/в| i=aj
или
S(te* 5W +i6^ ^7+6z' ^
f=r\ ¦ /-i * /"i • /-1 :
• •
Складывая соотношения (2.4) и (2,5) , получим
iff.*" + >>, +(у*+41 "*+
.ii
-o.
(2.5)
Л*' ar ^ м 4
j-i *¦/ V 7=1 *
"fe
+ U+S
¦
^Выбираем теперь ЛЭ' так, чтобы коэффициенты при k вариациях координат
обратились в нуль; тогда обратят-ся в нуль и коэффициенты при остальных
3п-k вариациях в силу независимости этих последних. Следователь-, но, мы
получим уравнения
S2 ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИИ
iro; 2
/~i •
2< + t^lL=0>
/=j .
или, с учетом формул (1.35),
Xi + RiX = 0, У* + = 0, Н' "0 (/=1,2, .".л)
Умножая каждое из этих уравнений соответственно на единичные векторы i, /
и к координатных осей х, у и % и складывая полученные выражения между
собой, будем иметь -
Fi + Ri - 0 (/ = 1,2, ..., /г),
I
л
т. е. уравнения (2.2). Начальные же скорости равны нулю по условию
(2.3)*),
Принцип виртуальных перемещений позволяет определить положение равновесия
несвободной, материальной системы, не вводя в рассмотрение неизвестных
реакций идеальных связей, так. как в формулировку этого принципа эти
реакции не входят.
Однако принцип виртуальных перемещений может быть применен и для
нахождения реакций идеальных связей. Для этого, в соответствии с
принципом освобож-даемости, следует отбросить связь и заменить ее
действие реакцией, а затем включить эту реакцию в число активных сил. При
этом следует помнить, что при отбрасывании связи увеличивается число
степеней свободы си-
ш.ш
стемы.
Если наложенные на систему связи не идеальные, то непосредственно принцип
виртуальных перемещений к таким системам неприменим. Однако в этом
случае, например при движении точек по негладким поверхностям, следует
реакции разложить на нормальные составляющие и силы трения. Далее
принять, что связи идеальные, а силы трения отнести к активным силам.
Конечно, при этом еле-
*) рассмотрение различных доказательств достаточности усло-
• вия (2.3) приведено в книге Г. К. Суслова "Теоретическая механика",
Го с тех из дат, 1944, стр. 377-384.
5 SUJ
ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИИ
:33
nveT учитывать условия равновесия при наличии тре-
' ¦ ¦ ¦¦¦г ". ^ 'j IP
НИЯ*)-
Пример 10. Тяжелый однородный стержень длины 21 опирается промежуточной
точкой на выступ В, Другой конец стержня удерживается невесомой нитью
длины /( прикреплённой к точке О (рис: 2.1). Дано: РЛ. О В " L Нднтн угол
образуемый..стернгаем с горизонтальной линией при равновесии, Стержёиь
считать гладким точки О и В находятся на ': одной горизонтали: '
' . i :.
Активная сила здесь одна1- вес стержня Р, приложенный в центре тяжестй
стержня €: Согласно формуле (2.3) условием равновесия стержня будет .
Р• бгг = РЬхс 0 или Ьхс "0.
-
: s
Так как
хг (tm) I sin 2<р-i sin ф;
777777.
TO
Pjte. 2.i<
~ I (2cos 2 Ф - cos ф) дф •*= 0.
J
Поскольку 6<jP выбирается произвольно, можно считать бф Ф 0, ь,
следовательно, "
: . 2 cos:2qfcos ф =* 0, ^ ' '
*гх*гЦ ЛИ'
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 64 >> Следующая