Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Собрание научных трудов 1905-1920 гг. - Эйнштейн А.

Эйнштейн А. Собрание научных трудов 1905-1920 гг. — М.: Наука, 1965. — 299 c.
Скачать (прямая ссылка): rabotipoteoriiotnositelnosti1965.djv
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 109 >> Следующая

10 Ср. часть II, § 4, пункт 2.
11 См. также соображения, приведенные в начале § 6. (См. также стр. 265-
Ред.)
12 Ср. часть II, § 2.
13 См. примечание на стр. 253 (ч. II, § 2).
14 'I'n.v есть контравариантный тензор, обратный (см. часть II, § 1).
237
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
1913 г.
2. Если (c)aj3... х есть контравариантный тензор ранга п относительно
линейных преобразований, то
^ дх\
есть контравариантный тензор ранга п - 1 относительно линейных
преобразований (дивергенция).
Выполняя над некоторым тензором обе операции поочередно, мы получаем
тензор того же ранга, что и первоначальный (операция А, примененная к
тензору). Применяя эти операции к фундаментальному тензору,, получаем
41 а / dr
дх, (Т^ Э*1 ) •
Следующее рассуждение показывает, что этот оператор является родственным
оператору Лапласа. В обычной теории относительности (когда гравитационное
поле отсутствует) следовало бы положить
gll = §22 = g33 = -1, g44 = С2, = О ДЛЯ Ц =j= V,
следовательно,
Тп = Т22 = Тзз = - 1, Т44 == ~2~" Tn.v == 0 для ц =f= v.
Если же имеется достаточно слабое гравитационное поле, т. е. если gpv и
отличаются от этих значений на бесконечно малую величину, то, пренебрегая
членами второго порядка, вместо выражения (а) получаем
д2Гр,у j.
дх^ дх2 дхg °2 дх^
Если поле статическое и переменной является только величина g44,. то мы
приходим к случаю ньютоновской теории гравитации, если положим, что
полученное выражение с точностью до постоянного множителя отождествляется
с величиной IV,
Поэтому можно считать, что выражение (а) с точностью до постоянного
множителя и есть искомое обобщение Дф. Однако это было бы ошибкой, ибо
при таком обобщении в подобное выражение могли бы войти члены, сами
являющиеся тензорами и обращающиеся в нуль в результате сделанных
допущений. Это относится к тем случаям, когда две первые" производные g^
или умножаются друг на друга. Так, например,
VI dgag dTgg
дх * дх afl и- v
238
21
Проект обобщенноЗ теории относительности и теории тяготения
есть ковариантный тензор второго ранга (относительно линейных
преобразований); он становится величиной, бесконечно малой второго
порядка, когда и Ya? отличаются от постоянных лишь на бесконечно малые
величины первого порядка. Поэтому необходимо допустить, что в наряду с
(а) входят еще другие члены, для которых пока должно выполняться только
одно условие, а именно: они все вместе должны иметь тензорный характер
относительно линейных преобразований.
Для отыскания этих членов обратимся к закону сохранения энергии-импульса.
Для пояснения применяемого метода продемонстрируем его сначала на
общеизвестном примере.
П дф
Ь электростатике есть v-я компонента импульса, передаваемого
единичному объему вещества, если ф означает электростатический потенциал,
ар - плотность заряда. Для ф ищется дифференциальное уравнение, которое
всегда удовлетворяет закону сохранения импульса. Известно, что решением
задачи служит уравнение
Выполнение закона сохранения импульса доказывается тождеством
Итак, если импульс сохраняется, то для каждого v должно существовать
тождество следующей структуры: в правой части стоит произведение - на
левую часть дифференциального уравнения, в левой
части - сумма производных.
Если бы дифференциальное уравнение для ф еще не было известно, то задача
его получения свелась бы к нахождению этого тождества. Для нас
существенно только то, что это тождество можно вывести, зная один из
входящих в него членов. Необходимо лишь повторно применять правило
дифференцирования произведения
а затем переносить производные в левую часть, остальные члены в правую
часть. Например, если исходить из первого члена написанного выше тож-
dxj дхv 2j дзл [
(X г*
дф \а' дф ^ д2ф /
и
23"
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
1913 г.
дества, то поочередно получим:
^ д (Эф Эф \ ^ Эф д2<р , Эф д2ф
2j VT J ~ + 2i дх~ ' dxvdx
[J- [J- r JJL ^ ^
dxv ZJ дх2 ^ дхф 2 2j [dxvJ j '
откуда после перегруппировки следует указанное тождество.
Вернемся теперь к нашей задаче. Из соотношения (10) следует, что
4-2 (" = 1, 2, 3,4)
[XV °
есть импульс (или энергия), передаваемый гравитационным полем единице
объема вещества. Чтобы выполнялся закон сохранения энергии-импульса,
необходимо так выбрать дифференциальные выражения Г^, входящие в
уравнения гравитации
у(н) = Г
А [J-V ?
чтобы сумму
JL V . д^р-v г
2% Zj у ь дх 1 [XV
IX V 0
можно было преобразовать в сумму производных. В то же время известно, что
в искомое уравнение для входит член (а).
Следовательно, искомое тождество имеет вид
Сумма производных = 4-2 [2 (г"з ^-) +
+ другие члены, обращающиеся в нуль в первом приближении)-
Тем самым искомое тождество определяется однозначно; образуя его
указанным выше способам, получаем
д [,г--------- эТтр dgxp\ i v д (лГ ^ дуTpdg
а0тр *
V d /V : dg'^\ 1 V д (\Г ; v а^р^тР\
ttpdxA 8'Га? дхр ' дха) 2 ?рдхв[У дха дхр)
= 2K^i-^jsV-4(T-^-%)-
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 109 >> Следующая