Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Собрание научных трудов 1905-1920 гг. - Эйнштейн А.

Эйнштейн А. Собрание научных трудов 1905-1920 гг. — М.: Наука, 1965. — 299 c.
Скачать (прямая ссылка): rabotipoteoriiotnositelnosti1965.djv
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 109 >> Следующая

Trs - 2 (^)"
H-v
Теперь введем следующие определения.
I. Совокупность функций 7,г1г2...гх от переменных х называется ко-
вариантным тензором ранга X, если эти функции преобразуются па формулам
Trlr2...rx = 2 PiiriPi2r2 • • • Р1\Г)(r)ЦЦ..Лу ^
hh-.-rx

Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
1913 г.
II. Совокупность функций (c)у*...^ от переменных х называется кон-
травариантным тензором ранга X, если эти функции преобразуются по
формулам22
= 2 ^iir^i2r2 • • • (7)
III. Совокупность функций i^k,... ^ от переменных х назы-
вается смешанным тензором, ковариантным ранга ц, контравариантным ранга
v, если эти функции преобразуются по формулам
^ rlr2...riii\sis2,..sv - 2 PUnPUrt • • • Pipr^'^kisflkiSi • • •
^¦kvsv'^-'ilU...i^\klk2...k^ .
(8)
Из определений и формул преобразований (4) и (5) следует:
величины g^v образуют ковариантный, а величины - контравариантный тензор
второго ранга; при п = 4 они образуют фундаментальные тензоры
гравитационного поля.
Величины dxi, преобразующиеся согласно формулам (3), образуют
контравариантный тензор первого ранга. Тензоры первого ранга называются
также векторами первого рода или 4-векторами при п - 4.
Непосредственно из определения тензоров получаются следующие
алгебраические тензорные операции:
1. Сумма двух однородных тензоров ранга X есть также однородный тензор
ранга X, составляющие которого получаются сложением соответствующих
компонент обоих тензоров.
2. Внешнее произведение двух ковариантных (контравариантных) тензоров
ранга X или ц есть ковариантный (контравариантный) тензор ранга X + р с
компонентами
/Pili2...i)k1k2...k^ = (9)
или
(c)гД2...гЛЛ-1/г2...А-[А = ФгД,...^ ..к^• (9 )
22 Таким образом, наши ковариантные (контравариантные) тензоры ранга X
тождественны "ковариантным (контравариантным) системам порядка Ъ> Риччи и
Леви-Чивиты, которые обозначаются этими авторами г или хГ1Гг"'Гх.
Хотя
эти обозначения имеют большие преимущества, мы все же оказались
вынужденными, ввиду сложности составляемых уравнений, выбрать свои
обозначения, а именно: обозначать ковариантные тензоры латинскими,
контравариантные - греческими, смешанные - готическими буквами.
Ковариантные и контравариантные тензоры представляют собой частные случаи
смешанных тензоров.
250
21
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготений
3. Внутренним произведением двух тензоров мы назовем
а) ковариантный тензор
frl/l*2* ••ftp,
б) контравариантный тензор
(c)i, г2...г^ = 2 Akikf.kp (11)
в) смешанный тензор
'^'ОГг.-.Гц |sjs*...sv = 2 Ak1kt...k-Kr1r2...r[(r)klki...kisls:i...sv,
(12)
ИЛИ
г) более общий случай тензора, охватывающий все случаи "а" - "в"
S'r1r2...rliM1Mj...ua|s1s2...svr1t)2...t5|g = 2 X
kik2.,.k-^
X ^k1ki...kf,uiu2...ua\s1s2.,.sv'
Термины "внешнее и внутреннее произведение", взятые из обычного
векторного анализа, оправдываются тем, что операции векторного анализа
являются частными случаями операций, рассмотренных выше.
Если в случаях "а" или "б" ранг X равен нулю, то внутреннее произведение
будет скаляром.
4. Взаимность ковариантного и контравариантного тензора. Образуем из
ковариантного тензора ранга X обратный контравариантный тензор ранга X
посредством Х-кратного внутреннего умножения на контравариантный
фундаментальный тензор
(c)iii2...i^ - 2 ТгЛТгЛ • • • 7ixk\Tktk^.-.k^' (^)
fcjft ,...**
Отсюда следует
Tili2...h - 2 8Ukigi2kt • • • Eixk-fik^.-.k^ (^)
kik2.. .k^
Следовательно, из тензора можно образовать скаляр, умножая его на
обратный тензор по формуле
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
1913 г.
Ковариантный (контравариантный) тензор первого ранга (4-вектор при п = 4)
имеет инвариант
2 YikTiTjc ik
ИЛИ
2 gik(r)&k.
ik
В обычной теории относительности контравариантность и ковариантность
тождественны, и этот инвариант равен квадрату длины 4-вектора
Т1 + Т\ + 71 + ТЬ
Ковариантный (контравариантный) тензор второго ранга имеет инвариант
2 YikTik ik
или
2 gik(r)ik, ik
который в случае обычной теории относительности имеет вид 23
Т XX + Т уу Т ZZ + Т it.
§ 2. Дифференциальные операции над тензорами
Введем следующие общие определения.
I. Расширением ковариантного (контравйриантного) тензора ранга к
называется ковариантный (контравариантный) тензор ранга к + 1, получаемый
из первоначального тензора "ковариантным (контравариантным)
дифференцированием".
Согласно Кристоффелю,
ВТ
^ пгг...гх m
'г,г,...гхs- дХ' Z] Ц к \ 7\г,...гх +
+ { к } Тг'*-г\ +•••+{ I } Т'г.г,...*) (16)
23 В дальнейшем мы не будем указывать, какой вид принимают наши формулы в
случае обычной теории относительности, и лишь сошлемся на работы 4-6.
252
21
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
есть ковариантный тензор ранга X + 1, производимый из тензора ранга X.
Риччи и Леви-Чивита называют дифференциальную операцию в правой части
"ковариантным дифференцированием" тензора Тг,г2... гх. При этом введены
обозначения
{:}-з
Tut
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 109 >> Следующая