Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Собрание научных трудов 1905-1920 гг. - Эйнштейн А.

Эйнштейн А. Собрание научных трудов 1905-1920 гг. — М.: Наука, 1965. — 299 c.
Скачать (прямая ссылка): rabotipoteoriiotnositelnosti1965.djv
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 109 >> Следующая

t
rs
t , - (17)
Г"] = L(^i +i!f! I
L t J 2 у dxs + dxr aT) • (18)
Здесь [<s] и {"} представляют собой трехзначковые символы Кристоф-феля
первого или второго рода соответственно; обращая соотношение (17),
находим 24
Вводя в соотношение (16) вместо ковариантных тензоров взаимные им
контравариантные тензоры, получаем "контравариантное расширение"
= 2 Т<1 ( gXi ) + { r } 0tr,...rx + jra) 0r,*.. -Г . . • +
+ {?х}егл...*. (20)
II. Дивергенцией ковариантного (контравариантного) тензора ранга
X будем называть ковариантный (контравариантный) тензор ранга X - 1,
получаемый внутренним умножением расширения на контравариантный
(ковариантный) фундаментальный тензор. Следовательно, дивергенцией
ковариантного тензора 7\v2... гх будет тензор
Тг2г3...гх = 2 "TsrlTri...rxs, (2^)
sr,
а дивергенцией контравариантного тензора &Г1гг...гх- тензор
= 2 §sri%...rxs- (22)
24 На основании этих формул легко показать, что расширение
фундаментального тензора тождественно равно нулю.
253
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
1913 г.
Дивергенция тензора неоднозначна; в общем случае результат меняется, если
в соотношениях (21) и (22) индекс гг заменять индексами г2, г3,... гх.
III. Обобщенной операцией Лапласа, в применении к тензору, будем
называть последовательность операций расширения и дивергенции. Поэтому
обобщенная операция Лапласа позволяет получить из тензора однородный
тензор того же ранга.
Особый интерес представляют случаи X = 0, 1, 2.
а) к = 0.
Исходный тензор есть скаляр Т, который можно рассматривать как
ковариантный или контравариантный тензор нулевого ранга.
Тензор
т' = %гг <23>
есть ковариантное расширение скаляра Т, т. е. ковариантный тензор первого
ранга (для п - 4 ковариантный 4-вектор), называемый градиентом скаляра.
Инвариант
дТ дТ /о/v
2 Trs дхг дха ^ ^
rs
есть первый дифференциальный параметр Бельтрами скаляра Т.
Для образования дивергенции градиента необходимо из его расширения
rs dxydxs 2 { к | dx образовать скаляр
которому можно придать вид 25
(25)
Дивергенция градиента является результатом применения обобщенного
оператора Лапласа, применяемого к скаляру Т, и тождественно совпадает со
вторым дифференциальным параметром Бельтрами скаляра Т.
25 См., например, цитированную выше работу Коттлера, а также вычисление
дивергенции 4-вектора в случае "б".
254-
21
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
б) 1= 1.
Пусть исходным тензором будет ковариантный 4-вектор, хотя с таким же
успехом можно взять и контравариантный тензор.
Согласно соотношению (16), ковариантным расширением будет
дТ" ( rs Л
Trs = !кс 2 { к } Т*- (26>
S к
Дивергенция определяется выражением
2 Trs^rs = 2 Trs (^ \ i к \ , (27)
rs rsk \ s /
которому в соответствии с (17) мы придадим вид:
Угт -У\Л-(ГТ\ dJlL.T - - у гъ,1д§г1 4-dJbl dgrs\T ZjTrs^rs - Zj qx
[Trs1 r) dx *r 2 TrsTkl I Qx + dx
rs rskl s 8 \ 8 r 1 /
(28>
помощью формулы 28
ду.
Если ИСКЛЮЧИТЬ -^2 с ПОМОЩЬЮ формулы 28
dx s
г' - ЗТгрТ.о-Й5. (29>
дх. I rp I so дх
1 ра
то в равенстве (28) три средних члена под знаком суммы сократятся, и,
кроме первого члена, останется
V 1 " dgrs " rp _ V Т dlogVg
2 2 Trs дх, 'TklTk - ZjTklTk д *
rskl ' kl 1
26 Эта формула, которую мы применяем также в § 4 при составлении
дифференциальных уравнений гравитационного поля, доказывается следующим
образом-Имеем
2^T*; = 6j*. (О или 1).
I
Следовательно,
i с I 1
где t - одно из чисел 1,2.
Для определенного к, таким образом, получается п уравнений (i = 1, 2, . .
. п}-
с п неизвестными {I - 1, 2, . . . п), решение которых дает формулу (29) в
дх,
тексте.
255
Проект обобщенной теории относительности и теория тяготения
1913 г.
так что для дивергенции ковариантного 4-вектора27 получим
2 TrJrs = (V~g ГгзТг). (30)
rs rs
в) X = 2.
Пусть исходным тензором будет контравариантный тензор второго ранга (c)rs,
расширение которого по формуле (20) имеет вид
0rSf = S Та ^-^7 + { г } 0/cs + { Л * (31)
Отсюда в качестве дивергенции контравариантного тензора (c)rs получается
либо дивергенция по строкам
в, = 2 ?"е", = 2 (^ + О + {?} еЛ ¦ <32>
s t sJ( \ (r) /
либо дивергенция по столбцам
es = 2 grfi,* - 2 C-t + { ?} + {ГЛ вЛ. (33)
rt rlс \ r 1
Эти две дифференциальные операции для симметричных тензоров совпадают.
Поскольку
2 {?} = 2 г" [Л = 2 Ьк = • <34>
г rs rs К К
то формулу (33) можно также переписать в виде
е*= Л2Л<^-е") + 2{Лв'*- ,35)
§ 3. Специальные тензор^ (векторы)
Ковариантный (контравариантный) тензор называется специальным 28, если
его компоненты образуют систему альтернирующих функций основных
переменных.
В соответствии с этим компоненты специального тензора подчиняются
условиям:
27 К такому же результату пришел Коттл ер (см. цитированную выше работу),
который исходил из специального тензора третьего ранга (ср. ниже с § 4) и
применил теорию интегральных форм.
По современной терминологии - полностью антисимметричным.- Прим. ред.
256
21
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 109 >> Следующая