Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Собрание научных трудов. Том 2. 1921-1955 гг. Работы по теории относительности - Эйнштейн А.

Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Том 2. 1921-1955 гг. Работы по теории относительности — М.: Наука, 1966. — 275 c.
Скачать (прямая ссылка): rabotipoteoriiotnositelnostit21966.djv
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 104 >> Следующая

вектора, которые вместе с дифференциалами координат обра-
50
60
Сущность теории относительности
зуют скаляр dxa.\ мы видим на этом примере, насколько естественна
определение ковариантных векторов.
Существуют также тензоры любого ранга, которые могут обладать
контравариантными или ковариантными свойствами по каждому индексу; как и
в случае векторов, эти свойства указываются положением индекса. Ар,
например, означает тензор второго ранга, ковариантный по индексу (х и
контравариантный по индексу v. Тензорные свойства этих величин указывают
на то, что уравнениями преобразования будут
At = p^Ai. (58)
дхр дха
Так же как в теории линейных ортогональных преобразований, можно
образовывать тензоры, складывая и вычитая тензоры равного ранга и
одинакового характера, например
л; + в; = с;. (59)
Доказательство тензорного характера Ср опирается на преобразование (58).
Можно образовывать тензоры путем умножения, не нарушая характера
индексов, точно так же, как в теории инвариантов линейных ортогональных
преобразований, например
а;в" = с;от. (60)
Доказательство этого равенства непосредственно следует из правила
преобраз ования.
Тензоры можно образовывать путем свертки по двум индексам разного
характера, например,
А*" = 50т. (61)
Тензорные свойства -4?0Т определяют тензорные свойства Ваг.
Доказательство:
дх" дх" дха дх, д дха дх, _
" V- s t лР _ s 1 Лл .
л** A*st " 5*7
Симметрия и антисимметрия тензора по отношению к паре индексов
одинакового характера имеют тот же смысл, что и в специальной теории
относительности.
Этим сказано все существенное об алгебраических свойствах тензоров.
4* *1
Сущность теории относительности
1921 г.
Фундаментальный тензор. Из инвариантности ds2 относительно произвольного
выбора dxv и условия симметрии, совместимого с (55), следует, что g^v
являются компонентами симметричного ковариантного тензора
(фундаментальный тензор). Образуем из g^ определитель g, а также деленные
на g миноры для каждого g^. Эти деленные на g миноры будут
обозначаться через gих трансформационные свойства пока еще неиз-
вестны. Мы имеем тогда
(1, если а = 3,
О, если аф$. ^
Если мы образуем бесконечно малые величины (ковариантные векторы)
dtv- = 8?.* dx*> (63)
умножим их на g№ и просуммируем по ц, то получим, используя (62),
сЦз = g&v- (64)
Поскольку отношения d^ произвольны, a dx$, так же как и dx^ являются
компонентами вектора, то, следовательно, - компоненты контравариантного
тензора 18 (контравариантный фундаментальный тензор). Тензорные свойства
6* (смешанный фундаментальный тензор) следуют соответственно из (62). При
помощи фундаментального тензора мы можем вместо тензоров с ковариантным
характером индексов вводить тензоры с контравариантным характером
индексов и наоборот, например
""
A* = g Аа,
г 0(ха '
Т° _ "ov Т J ^ - 6 1
дха
Если мы умножим (64) на , просуммируем по (В и заменим путем перехода к
штрихованным координатам, то получим
дхя дх"
dx = - д- .
" дх^ 6 4,0
Отсюда следует сделанное выше утверждение, поскольку, согласно (64),
справедливо также и равенство dxa = gax d\a и оба уравнения должны
выполняться цри любом выборе d\Q.
S2
60
Сущность теории относительности
Инвариантный объем. Элемент объема
^ dxx dx% dxs dxi = dx не является инвариантом. В самом деле, по теореме
Якоби
дх
dx' = ~ dx. dxv
(65)
Но мы можем дополнить элемент объема dx так, чтобы он превратился в
инвариант. Составляя определители от обеих частей равенства
и дважды используя теорему об умножении определителей, получаем
Образование тензоров путем дифференцирования. Хотя образование тензоров
при помощи алгебраических операций оказалось столь же простым, как и в
частном случае инвариантности по отношению к линейным ортогональным
преобразованиям, тем не менее в общем случае инвариантные
дифференциальные операции, к сожалению, значительно усложняв ются.
Причина этого заключается в следующем. Если Av- - контрава-
дх'
риантный вектор, то его коэффициенты преобразования не зависят
от места только для линейных преобразований, так как в этом случае
dA[L
компоненты вектора в соседней точке А^ + -w-dxa преобразуются точ-
о ха
но так же, как Аоткуда следует векторный характер дифференциа-
дА'*
лов векторов и тензорный характер . Но если коэффициенты изменяются, это
уже не так. * v
То, что, несмотря на это, и в общем случае существуют инвариантные
дифференциальные операции, наиболее убедительно можно показать следующим
путем, предложенным Леви-Чивитой и Вейлем. Пусть (А- контравариантный
вектор с компонентами, заданными в системе координат Пусть Рх и Р% - две
бесконечно близкие точки континуума.
дх дх а&
p. V
Таким образом, мы приходим к инварианту
Yg' dx' = Yg dx.
(66)
53
Сущность теории относительности
1921 г.
В бесконечно малой области, содержащей точку Р±, существует, согласно
развитым нами представлениям, система координат (с мнимыми координатами
Х4), В КОТОРОЙ КОНТИНууМ СТаНОВИТСЯ ЭВКЛИДОВЫМ. ПуСТЬ Лц) -
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 104 >> Следующая