Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Собрание научных трудов. Том 2. 1921-1955 гг. Работы по теории относительности - Эйнштейн А.

Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Том 2. 1921-1955 гг. Работы по теории относительности — М.: Наука, 1966. — 275 c.
Скачать (прямая ссылка): rabotipoteoriiotnositelnostit21966.djv
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 104 >> Следующая

координаты вектора в точке Pv Представим себе вектор с теми же
координатами, построенный в точке Р2 в локальной системе координат Xv
(параллельный вектор в точке Р2); тогда этот параллельный вектор
полностью определяется вектором в Р1 и смещением. Назовем эту операцию,
однозначность которой станет ясной из дальнейшего, параллельным переносом
вектора из точки Рх в бесконечно близкую точку Р2. Если мы составим
векторную разность вектора (Ав точке Р2 и вектора, полученного
параллельным переносом из Рх в Р2, то получим вектор, который можно
рассматривать как дифференциал вектора (Av-) для данного переноса (dxv).
Этот векторный перенос можно, конечно, рассматривать и в системе
координат Xv Если Av - координаты вектора в точке РА и Av + бЛ* -
координаты вектора, перенесенного в точку Р2 вдоль интервала (dxv), то в
этом случае величины бЛЛ не обращаются в нуль. Относительно этих величин,
не обладающих векторными свойствами, нам известно, что они должны
зависеть линейно и однородно от dxv и Лv. Поэтому положим
бЛ^-ГаРЛа^. (67)
Кроме того, можно утверждать, что символ Гар должен быть симметричен по
индексам а и 0, так как из представления в локальной эвклидовой системе
координат мы можем заключить, что при переносе некоторого элемента d^xv
вдоль другого элемента d^xv описывается тот же параллелограмм, что и при
переносе вдоль Следовательно, должно
выполняться соотношение
d{2) Хч -f- (d{1) Хч - Гар d{1) ха d{2) хр) = d(1) xv -f- (d(2) xv - Г"р
d(2) хя d(1) x$).
Отсюда после перестановки в правой части равенства индексов суммирования
а и Р и следует сделанное выше утверждение.
Поскольку величины g определяют все метрические свойства континуума, они
должны определять также Г*р. Рассмотрим инвариант вектора Avt т. е.
квадрат его модуля
ё А* А\
Он является инвариантом и не может изменяться при параллельном переносе.
Следовательно, мы имеем
о = б (g^'A'A') = *Ьг А- Л" dx. + g^iAT + Л'вЛ>,
54
60 Сущность теории относительности
или, согласно (67),
( 5^ ^ A dxа = 0.
В силу симметрии стоящего в скобках выражения по индексам [i и v, это
уравнение только тогда может остаться справедливым при любом выборе
векторов (л4^) и dxv, когда выражение в скобках обращается в нуль при
всех комбинациях индексов. Путем циклической перестановки индексов (х, v,
а получается всего три соотношения, из которых, принимая во внимание
свойства симметрии r?v, мы получаем
га-
(68)
где, следуя Кристоффелю, введено сокращенное обозначение
д8ча д8\
V
Если мы умножим (68) на gacL и просуммируем по а, то получим
Г>в _ * рва (dgV-a ! J P-v\ /7Л\
где |^v| - символ Кристоффеля второго рода. Таким образом, величины Г
выведены из gwv. Соотношения (67) и (70) послужат нам основой для
последующих рассуждений.
Ковариантное дифференцирование тензоров. Если (Л1* + fi^)- вектор,
получившийся после бесконечно малого параллельного переноса из Рх в Р2} а
{А^dA^) - вектор А^ в точке Р2, то их разность
dA* - ЬА" = + Г?а Ла) dxa
также есть вектор. Поскольку выбор dxa произволен, величина
^=^-+г-4" <71>
О
является тензором, который мы назовем ковариантной производной от тензора
первого ранга (вектора). Свертывая этот тензор, мы получаем дивергенцию
контравариантного вектора А При этом мы должны учесть, что согласно (70),
Г° - 1 -7°"д8аа _ 1 д V! (72)
2 ^ -,у; М
55
Сущность теории относительности
1921 г.
Если мы введем, далее, величину
а"у7= г, (73)
названную Вейлем контравариантной тензорной плотностью 19 первого ранга,
то отсюда следует, что
" - -ЯГ <74>
есть скалярная плотность.
Правило параллельного переноса ковариантного вектора Вц мы получим,
потребовав, чтобы при таком параллельном переносе скаляр
Ф = А'В"
не менялся и, следовательно, величина
АЧВ" + В^бА*
была бы равна нулю при любых значениях Мы получим, таким образом,
ЬВр = Г%Ва<1х". (75)
Тем же путем, который привел нас к (71), мы приходим отсюда к кова-
риантной производной ковариантного вектора
дЛ
(76>
Меняя местами индексы р, и а и вычитая, мы получаем антисимметричный
тензор
дв* дв°
V*- дх дх • ( )
О
Для ковариантного дифференцирования тензоров второго и высшего рангов
можно использовать прием, которым выведено соотношение (75). Пусть,
например, (Аат) - ковариантный тензор второго ранга. Тогда выражение
АвтЕа Fx будет скаляром, если Е и F - векторы. Оно не должно меняться при
6-переносе; выражая это математически, получаем,
19 Это название оправдывается тем, что величина А* Y g dx = %^ dx
обладает тензорными свойствами. Каждый тензор, будучи умножен на Vg,
превращается в тензорную плотность. Для тензорных плотностей мы
используем прописные буквы готического алфавита.

60
Сущность теории относительности;
согласно (67>, 6Л0Т. откуда находим нужную нам ковариантную произ-водную
Авг; р = _ г%АЛХ - Г*р^4аа- (78)
Чтобы отчетливо выявить общее правило ковариантного дифференцирования
тензоров, выпишем две выведенные сходным образом кова-риантные
производные
<L4T
Л1, р = -%Г-ТоРА1 + (79)
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 104 >> Следующая