Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Собрание научных трудов. Том 2. 1921-1955 гг. Работы по теории относительности - Эйнштейн А.

Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Том 2. 1921-1955 гг. Работы по теории относительности — М.: Наука, 1966. — 275 c.
Скачать (прямая ссылка): rabotipoteoriiotnositelnostit21966.djv
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 104 >> Следующая

р
а лот
АГр = ig- + Г'р4ат + (80)
Р
Общее правило образования ковариантных производных становится теперь
очевидным. Из этих формул можно получить и другие формулы,,
представляющие интерес для физических приложений теории.
Если Аах - антисимметричный тензор, то путем циклических пере^ становок и
сложения мы получаем антисимметричный по всем парам индексов тензор:
дАаг дАто дАаа отр = дх + дх +
РОТ
Если в (78) мы заменим Аат на фундаментальный тензор ggr, то правая часть
тождественно обратится в нуль; аналогичное утверждение-справедливо для
формулы (80) по отношению к gar. Таким образом, ко-вариантные производные
фундаментального тензора равны нулю. В том, что это должно быть так, мы
непосредственно убеждаемся, перейдя к локальной системе координат.
В случае антисимметричного тензора Лвт мы получаем из (80), свертывая по
т и р,
Г = . (82)
В общем случае, свертывая по индексам тир, мы получаем из (79) и (80)
соотношения
Я. = ^-Г^Я", (83)
Г = -^-+Г"8Г0. (84)
ОХл
Тензор Римана. Если мы имеем кривую, соединяющую точки континуума Р ж G,
то вектор А*, заданный в точке Р, можно перенести парал-

'Сущность теории относительности
1921 г.
лельно вдоль нашей кривой в точку G (рис. 4). В случае эвклидова
континуума (или в более общем случае, если при подходящем выборе
координат g^v оказываются постоянными) вектор, полученный в точке G
в результате этого переноса, не зависит от выбора кривой, соединяющей Р и
G. Однако в других случаях результат зависит от пути переноса. В этих
•случаях, следовательно, вектор изменяется (по направлению, но не по
величине) на АЛ когда он из точки Р, лежащей на замкнутой кривой,
переносится вдоль этой кривой и возвращается обратно в Р. Вычислим это
изменение вектора
Эту задачу можно свести к интегрированию вдоль замкнутой кривой
'бесконечно малых линейных размеров так же, как это делается в теореме
Стокса для контурных интегралов от вектора вдоль замкнутой кривой; этим
случаем мы и ограничимся.
Прежде всего, согласно (67), имеем
АА" = - фг?эЛв<&*.
Здесь значение Г?р берется в переменной точке G пути интегрирования. Если
мы положим
^ = (*^V)g (жц.)р
и обозначим значение Г% в Р через Г?р, то с достаточной степенью
точности будем иметь ___
- яг^
¦Р^ I "0 tv
1 а0 - -I а|3 -аГ- Ь •
v
Пусть, далее, Аа получается из Ла при параллельном переносе вдоль кривой
из Р в G. Тогда при помощи соотношения (67) легко доказать,
"8
60
Сущность теории относительности
что А* - А* - бесконечно малая первого порядка, тогда как для кривой с
бесконечно малыми размерами первого порядка - бесконечно малая второго
порядка. Поэтому с ошибкой лишь во втором порядке можно положить
Ал = Л* - г? ~А° 1\
Если подставить эти значения Г?р и Ал в интеграл, то, пренебрегая всеми
величинами выше второго порядка малости, получаем
А^ = -(тй^ - (85)
Величины, вынесенные из-под знака интеграла, взяты в точке Р. Вычитая
из подынтегрального выражения, получаем
Этот антисимметричный тензор второго ранга /ар характеризует
величину и ориентацию элемента поверхности, ограниченного
кривой.
Если бы выражение в скобках в правой части равенства (85) было
антисимметричным по индексам аир, мы могли бы из (85) заключить о его
тензорном характере. Это можно сделать, переставляя в (85)
суммирование по а и р и прибавляя к (85)
получившееся уравнение. Проделав это,
мы получим
2АА* = - (86)
где20
лпр, олр.
о а , а0 I тчЦ. т-ip р)>. рР /Я7\
Лаа0 =-----fa 1------------------fa Г ра-1 00-------1 р0 1 оа- (О/)
0 а
Тензорный характер величины 7??а|3 вытекает из (86); это - тензор
кривизны Римана четвертого ранга. Нам нет необходимости рассматривать его
свойства симметрии. Обращение его в нуль служит достаточным условием (не
считая условия вещественности выбранных координат) того, что континуум
эвклидов.
Свертывая тензор Римана по индексам ц и р, получаем симметричный тензор
второго ранга
*,. = -^ + r^r~ + Sf- (88)
80 Теперь в литературе определение этого тензора отличается знаком.-
Прим. ред.
5"
Сущность теории относительности
1921 г.
Последние два члена обращаются в нуль, если система координат выбрана
так, чтобы величина g была постоянной. Из мы можем получить скаляр
R = g^R^. (89)
Прямейшие (геодезические) линии. Можно построить линию таким образом,
чтобы ее последовательные элементы получились один из другого
параллельными переносами. Это естественное обобщение прямой линии
эвклидовой геометрии. Для таких линий мы имеем
(dx,, \ " dx"
тЯ - Ът?**-
Левую часть последнего равенства следует заменить на -^г21> так что,
*** Л. Т* dX* dXfi о ds8 ds ds
Ту же линию можно получить, если найти линию, вдоль которой интеграл,
взятый между двумя точками,
J ds, или J V g^dxpdx* принимает стационарное значение (геодезическая
линия).
Лекция IV
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
(продолжение)
У нас теперь есть математический аппарат, необходимый для формулировки
законов общей теории относительности. Мы не преследуем цель дать
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 104 >> Следующая