Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Собрание научных трудов. Том 2. 1921-1955 гг. Работы по теории относительности - Эйнштейн А.

Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Том 2. 1921-1955 гг. Работы по теории относительности — М.: Наука, 1966. — 275 c.
Скачать (прямая ссылка): rabotipoteoriiotnositelnostit21966.djv
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 104 >> Следующая

е?2 a?v
ку т - инвариант (тензор ранга 0), то т - вектор, или тензор ранга 1 (по
теореме умножения тензоров). Если сила (Xv) обладает свой-
/ d2xv \
ствами вектора, то этим же свойством обладает разность [т XVJ.
Уравнения движения пригодны поэтому в любой другой декартовой системе
координат в пространстве отсчета. Векторный характер (Xv) легко
обнаружить в случае консервативных сил. Тогда существует потенциальная
энергия Ф, зависящая только от взаимных расстояний частиц и потому
инвариантная. Векторный характер силы Xv = здесь следует из нашей общей
теоремы о производной от тензора ранга 0.
Умножая на скорость (тензор ранга 1), мы получаем тензорное уравнение
-Ч-*г = °-
После свертки и умножения на скаляр dt мы получим соотношений для
кинетической энергии
d ( = Xvda:w.
Если через обозначены разности координат материальной частицы и
фиксированной точки пространства, то обладает свойствами
d^xv d%v
вектора. В силу очевидного соотношения rf-av- = -gtr~ > уравнения
движения частицы могут быть записаны в виде
*** г п Х* = °-
ды можно было бы упростить, ориентируя определенным способом систему
координат в этом направлении. Вместе с тем, если выделенного направления
в пространстве нет, нелогично формулировать законы природы, замалчивая
эквивалентность различным образом ориентированных систем координат. Мы
снова столкнемся с этой точкой зрения в специальной и общей теориях
относительности.
16
60
Сущность теории относительности
Умножая это уравнение на мы получаем тензорное уравнение
(* ¦*.) ь=°-
Свертывая этот тензор и усредняя по времени, получаем теорему ви-риала,
на которой, однако, мы не будем останавливаться. Путем замены индексов и
последующего вычитания мы приходим после простого преобразования к
теореме моментов
~dt\m{^~di ?v-^)] = -ЬДр.- (15)
Отсюда очевидно, что момент вектора является не вектором, а тензором. В
систему уравнений (15), в силу ее антисимметрии, входят не де-г вять, а
лишь три независимых уравнения. Возможность замены в трехмерном
пространстве антисимметричного тензора второго ранга вектором связана с
существованием вектора
^4|JL = ~2 •^¦Отботр.!
Если мы умножим антисимметричный тензор второго ранга на введенный нами
выше особый антисимметричный тензор б и свернем его дважды, то получим
вектор, компоненты которого численно равны компонентам тензора. Это так
называемые аксиальные векторы, которые при переходе от правой системы
координат к левой преобразуются иначе, чем Дту. Рассмотрение
антисимметричного тензора второго ранга как трехмерного вектора дает
некоторое преимущество в наглядности, но сущность cooiv ветствующей
величины при этом проявляется не так ясно, как при рассмотрении ее как
тензора.
Рассмотрим теперь уравнения движения сплошной среды. Пусть р - плотность,
uv - компоненты скорости, рассматриваемые как функции координат и
времени, Xv - объемные силы на единицу массы и pva - напряжения на
поверхности, перпендикулярной к оси а в направлении возрастания xv. Тогда
уравнения движения, согласно закону Ньютона, имеют вид
<Ч _ Эр, " , р ~ST " - + Р*"'
дич
где~dt ускорение частицы, находившейся в момент t в точке с координатами
xv. Если мы запишем это ускорение с помощью частных проиэ-
2 А. Эйнштейн, том II
17
Сущность теории относительности
1921 г.
водных, то после деления на р получим
?+?"-- тж- + х- <16>
Мы должны показать, что это уравнение выполняется независимо от
конкретного выбора декартовой системы координат. Здесь и" - вектор, дич
дич дич
и поэтому ~Qf~ тоже вектор; ~q^~- тензор второго ранга, а щ ~~
в о
тензор третьего ранга. Второй член слева получается сверткой последнего
по индексам а и т. Векторный характер второго члена справа очевиден. Для
того чтобы первый член справа также был вектором, необходимо, чтобы
величина pva была тензором. Тогда при помощи дифференциро-
дР*о
вания и свертки получаем величину -, которая, таким образом, яв-
о
ляется вектором и остается таковым после умножения на скаляр 1/р. Тот
факт, что pva - тензор и потому преобразуется согласно уравнению
Ppv ~
доказывается в механике интегрированием этого равенства по бесконечно
малому тетраэдру. Там доказывается также путем применения теоремы
моментов к бесконечно малому параллелепипеду, что pva = pav, т. е. что
тензор напряжений является симметричным тензором. Из сказанного можно,
следуя сформулированным выше правилам, найти, что это равенство
ковариантно по.отношению к ортогональным преобразованиям в пространстве
(вращениям); правила, согласно которым должны преобразовываться величины
в этом равенстве, чтобы оно было ковариантным, также становятся
очевидными.
Ковариантность уравнения непрерывности
ж+^ = ° (17>
после всего сказанного не требует особых пояснений.
Проверим также ковариантность уравнений, выражающих зависимость компонент
напряжения от свойств вещества, и с помощью условия ковариантности
выпишем эти уравнения для случая сжимаемой вязкой жидкости. Если
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 104 >> Следующая