Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Собрание научных трудов. Том 2. 1921-1955 гг. Работы по теории относительности - Эйнштейн А.

Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Том 2. 1921-1955 гг. Работы по теории относительности — М.: Наука, 1966. — 275 c.
Скачать (прямая ссылка): rabotipoteoriiotnositelnostit21966.djv
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 104 >> Следующая

вектора (А) справедлива формула
(2)
Следовательно, компоненты метрического тензора представляются в виде
= Vй""1
где, конечно, по а производится суммирование. При данном а величины ha
образуют контравариантный вектор. Далее выполняются соотношения
КаК = Ь1, (4)
Kaht = даь, (5)
причем 6 = 1 или 6 = 0 в зависимости от того, одинаковые оба индекса или
разные. Справедливость соотношений (4) и (5) вытекает из
приведенного выше определения h^a как нормированных
миноров величин ha"
Векторный характер величин проще всего доказывается тем, что левая, а
следовательно, и правая, части равенства (1а) инвариантны относительно
произвольных преобразований координат при любом выборе вектора (Л).
Поле гс-подов определяют п2 функций hi, тогда как метрику Римана
определяют только п величин g^v. В соответствии с соотношением
(3) метрика определяется полем тг-подов, но не наоборот.
3 Индексы, относящиеся к координатам, мы обозначаем греческими буквами, а
индексы п-подов (га-мерных ортогональных реперов.- Ред.) - латинскими.
224
87
Геометрия Римана и понятие "абсолютного" параллелизма
§ 2. "Абсолютные" параллелизм и инвариантность относительно вращения
Поле гс-подов обеспечивает сразу и существование метрики Римана и
"абсолютный" ("далекий") параллелизм. Действительно, если {А) и (В) - два
вектора в точках Р и Q (по отношению к своим локальным я-подам) -
обладают одинаковыми соответственными локальными координатами ('т.е.Аа-
Ва), то они будут равными [вследствие формулы (2)] и "параллельными".
Рассматривая в качестве наиболее существенных, т. е. имеющих объективное
значение, свойств только метрику и абсолютный параллелизм, мы видим, что
поле я-подов определяется ими еще не полностью. В самом деле, метрика и
параллелизм не изменяются, если я-поды во всех точках континуума
заменяются на другие n-поды, получаемые из первоначальных n-подов
вращением. Будем называть это свойство поля n-подов инвариантностью
относительно вращения и дадим определение: реальный смысл могут иметь
только те математические соотношения, которые будут ковариантными
относительно вращения.
Таким образом, для фиксированной системы координат при заданной метрике и
заданном соотношении параллельности величины ha определяются еще не
полностью; возможна еще замена /г?, соответствующая инвариантности
относительно вращения, т. е. преобразованию
где коэффициенты dam выбираются ортогональными и независимыми от
координат. Пусть (Ла) - произвольный вектор, отнесенный к локальной
В соответствии с соотношением (1а) из уравнения (6) получаем
Тогда, согласно постулату инвариантности относительно вращения, имеют
смысл только такие соотношения, в которых величины h переходят в величины
h* того же типа, если эти величины h* вводятся с помощью
отлпц
(6)
системе, и (4*а) - вектор, отнесенный к повернутой локальной системе,
или
ат'4ц.т"
(6а)
причем
дх*
(бб)
(бв)
15 а. Эйнштейн, том II
225
Геометрия Римана и понятие "абсолютного" параллелизма
1928 г.
уравнений (6) и т. д. Иначе говоря, поля тг-подов, получаемые при
локально равномерном вращении, эквивалентны.
Закон бесконечно малого параллельного переноса вектора при переходе от
точки (zv) к соседней точке (х* -Ь dx*) характеризуется, очевидно,
уравнением
Умножая это уравнение на ti*a и учитывая соотношение (5), получаем
Этот закон параллельного переноса является ковариантным относительно
вращения и несимметричным по нижним индексам коэффициентов При переносе
вектора (Л) по замкнутому пути, в соответствии с этим законом, упомянутый
вектор переходит сам в себя. Это значит, что образованный из
коэффициентов переноса А^. тензор Римана
вследствие уравнения (7а), как легко показать, тождественно равен нулю.
Но кроме этого закона переноса существует еще (неиптегрируемый)
симметричный закон цереноса, принадлежащий, в соответствии с равенствами
(2) и (3), метрике Римана. Как известно, он выражается соотношениями
Величины Г;о, в силу равенства (3), выражаются через величины h, поля п-
подов. При этом необходимо учитывать, что
dAa = О,
(7)
т. е. уравнением
dh
О = d(hVMAv-) = -JS АЧх° + hpadA^ = О,
dAv = - А^АЧх*
где
(7а)
dA4 = - Г;0АЧха,
87
Геометрия Римана и понятие "абсолютного" параллелизма
при этом условии, вследствие равенств (4) и (5), выполняются соотношения
g^gvX = йЦ1,
определяющие величины по заданным g^. Разумеется, этот закон переноса,
основанный только на метрике, также является ковариантным относительно
вращения в указанном смысле.
§ 3. Инварианты и коварианты
В рассматриваемом нами многообразии, кроме тензоров и инвариантов
геометрии Римана, содержащих величины h только в комбинациях, заданных
равенством (3), существуют еще другие тензоры и инварианты, простейшие из
которых мы теперь и обсудим.
Из некоторого вектора (Av) в точке (х') в результате двух переносов d и d
в бесконечно близкую точку (xv -}- dxv) получаются два вектора
А* + dAv
и
Av -f- dA\
Следовательно, разность
dAv - dAv = (Пэ - A^p) A*da? также есть вектор. Значит, величина
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 104 >> Следующая