Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Сопряженные и нестационарные задачи механики реагирующих сред - Гришин А.М.

Гришин А.М., Фомин В.М. Сопряженные и нестационарные задачи механики реагирующих сред — Н.: Наука, 1984. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): sopryagennieinestacionniezadachi1984.djvu
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 111 >> Следующая


8

2 dir.и; =^1 (І = 1,2,...,8). (2.2.10)

5=1 1J

Известно (см. [51]), что если для системы дифференциальных уравнений (2.2.9) существует действительная характеристическая поверхность, то найдутся 8 чисел сог- U=I,

_ 8

2, ..., 8) таких, что векторы Wj = 2 ^i^ij (/== 1, 2, ..8)

Целиком лежат на этой поверхности, значит, систему уравнений (2.2.10) можно представить в характеристическом виде 8 8

S^ru; = 2 M;.

J-I J J=I

53 Учитывая сказанное, выпишем условия совместности на поверхностях Ф; = О U = I, 2). Подставив выражения для соответствующих нормалей N в определитель А, находим, что ранг матрицы равен 7 и, следовательно, на каждой из поверхностей Фг = 0 существует только одно линейно независимое соотношение совместности. Из-за громоздкости выражений мы-не будем их выписывать в явном виде, но при* ведем коэффициенты линейной зависимости строк определителя А. На поверхности Ф4 = 0 имеем следующий набор;

<0i = A1N1 U = I, 2, 3), CO4 = -I, COi = O U = 5, 6, 7, 8). На поверхности Ф2 = 0, в свою очередь, получим

»1 =--ГТ-Ч^ч (* = 1,2,3), CO1 =

(«і -rD ' ' " * W1K-T21)'

W5 = -A2, Coi = Ni-й (^==6, 7, 8).

По виду о)г нетрудно догадаться, что характеристическое соотношение иа поверхности Фі = 0 содержит производные только от параметров газа, в то время как в аналогичное выражение на поверхности Ф2 = 0 входят производные всех искомых величин. IIa поверхностях тока 1Fi = O U=I, 2) ранг матрицы равен 6, поэтому имеется два линейно независимых соотношения совместности._ Именно, для любых двух ЛННЄЙНО независимых векторов Ii = (Zii, U1, lis) U = 1, 2), расположенных целиком в пространстве и удовлетворяющих уравнению Ti-H = 0, где п — пространственная составляющая нормали к поверхности 1Fi = O, справедливы соотношения

P^dF-F1 + Л = Zi-^i (І = 1,2).

Кроме того, на поверхностях Mx1=O в характеристической форме уяхе записаны уравнения (2.2.7), которые перепишем в следующем виде:

р«з*:" = ?« ^ = 1'2)-

Полученные условия гиперболичности и характеристические соотношения для системы дифференциальных уравнений (2.2.4) являются общими в том смысле, что аналогичные результаты для плоских стационарных течений входят сюда как частный случай; они могут оказаться полезными при математической постановке конкретных физических задач и построении схем их численного расчета.

54 В иатштх рассуждениях пока пе используется консервативность уравнений (2.2.4). Известно [52—54], что такие системы при некоторых ограничениях являются симметрическими, значит, для них имеются хорошие энергетические оценки краевых задач и задач Копій. Покажем, что системы дифференциальных уравнений типа (2.2.4) могут быть редуцированы к симметрическим.

Рассмотрим снова систему уравнений (2.2.4), по уравнения энергии заменим соответственно уравнениями для внутренних энергий. Легко проверить, используя уравнение состояния для газа, что при і = 1 имеет место соотношение Гиббса

PJ1 S1= P1-^1-Pi = Qu

где Si — энтропия газа, а для частиц аналогично постулируется

т dZ С dZ Р° п

P2' 2 Jt * 2 = P2 Jt Є2 - ^ Jt P2 = V2,

где S2 — энтропия «газа» частиц.

Перепишем уравнения, о которых говорилось выше, в консервативной форме в проекциях на соответствующие оси координат

dt(pi) + Sll(Pi^ll) = 0, QtipiVio) + Oix(PiViixVia) + Sa(P1) = Fia,

(2.2.11)

OtipiSi) + d^p&vj = QiZTi (І = 1, 2; р, о = 1, 2, 3),

где Ot = д/ot, Oli = д/дхІЧ Via — проекция вектора Vi на ось а. Повторяющийся индекс а или р означает суммирование. Умножим уравнения неразрывности на выражения ^f = = Ii + PiZpi — SiTi —Ff/2, уравнения сохранения импуль-

iPv

са — на выражения Ai = V10j а уравнения сохранения энтропии — на Xfs = Ti и, просуммировав полученное, приходим к закону сохранения полной энергии для смеси 2

2 + VV2) + Oil9iVi^ei + PJpi + Ff/2)} = О

г=1

(ц-1,2,3).

2

Величина ер = ЦріОч + ^l/2) зависит от (р,Hp1-Vr,), і—1

(PiSi). Предположим, что мы так определяем энергию частиц е2(т2Т2), что б2 • ф — вторая вариация от ф — яв-

55 Ляется строго положительной в некоторой области изменения ее аргументов, тогда, согласно [52J, система уравнений (2.2.11) приводима к симметрически гиперболической системе в этой области. Тем самым доказана

Лемма 2. Система уравнений (2.2.4) является симметрически гиперболической.

Как следствие из леммы 2 и из результатов работ [54, 551 для этой системы имеем корректность задачи Коши в малом с начальными условиями, заданными па поверхности пространственного типа. Таким образом, данная математическая модель, описывающая поведение смеси газа с частицами и представленная уравнениями (2.2.4), является корректной.

В качестве примера предлагается упрощенная математическая модель течения газа с частицами, приводимая к симметрическому виду. Она получается, если опустить члены с давлением P2 в уравнениях для частиц системы (2.2.11). Тогда соотношение Гиббса для частиц выглядит так:

d d т 2 о _ _2

12Tt^z - dt e^

где е2 = е2(Т2), например, е2 = cv2 -T2, Cv2 = const. Все остальные величины определяются, как и прежде:
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 111 >> Следующая