Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Таранина И.В. "Гражданский процесс в схемах " (Юриспруденция)

Смоленский М.Б. "Адвокатская деятельность и адвокатура российской федерации" (Юриспруденция)
Реклама

Биогидродинамика плавления и полёта - Ишлинский А.Ю.

Ишлинский А.Ю., Черный Г.Г. Биогидродинамика плавления и полёта — М.: Мир, 1980. — 177 c.
Скачать (прямая ссылка): biogidrodinamikaplavleniyaipoleta1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 59 >> Следующая

t) этой точки равна
v(s, () = vt\ + v"n, (2.1)
где 1 и n - единичные векторы касательной и нормали к жгутику. Для
простоты выкладок мы будем рассматривать здесь только двумерные
волнообразные движения жгутика. Трехмерный случай будет обсуждаться ниже
в разделе "Численное определение оптимальных синусоидальных биений". Лег-
6*
148
О. Пиронно, Д. Кац
ко показать, что условие нерастяжимости жгутика приводит к равенству
do, о
-аГ-ЗГ' (tm)
где R - мгновенный локальный радиус кривизны оси жгутика.
Далее, чтобы охарактеризовать результирующее поступательное движение
микроорганизма, есть несколько возможностей. В идеальном случае мы могли
бы задать скорость vc центра масс организма. Однако мы будем задавать
другую величину, а именно
L
Y jj v • Ids = vk. (2.3)
О
Для биений жгутика малой амплитуды
Y - 1 D
vc=-Г- {\)vk--^-vH, (2.4)
У ьь
L
где y - CN/CL и (1) = -J- ^ 1 (s, t)ds. Для биений более об-
о
щего вида трудно дать простую физическую интерпретацию величины
(2.3). Условию малости амплитуды биений вполне
удовлетворяют плавающие организмы. Более того, мы в
этом случае имеем возможность построить аналитическое
решение интересующей нас задачи. Если мы теперь потребуем, чтобы
мгновенный расход гидродинамической* работы был минимален, то эта задача
оптимизации может быть поставлена следующим образом:
min ( CL ((yf + уу2) ds -f DHv% + Мна>% }, (2.5а)
L
CL ^ (Vil + vunn) ds + DHvH = 0, (2.56)
О
L
CL 5 х x {vt\ + vwnn) ds + Mh<ah = 0, (2.5b)
0
L
-j-^vtds^ vk, (2.5r)
0
dvl Vn
ds R '
(2.5д)
Оптимальное плавание жгутиковых
149
Выражение (2.5а) определяет расход работы, (2.56) и (2.5в) выражают
сохранение полного импульса и момента количества движения организма.
Траектория организма, определяемая функцией x(s>0> является решением
дифференциального уравнения в частных производных
1 (s, t) = vt (s, t) 1 (s, t) + vn (s, t) n (s, t), ^
X(s, 0) = X0(s), 0 <s<L, 0 <t<T.
Здесь xo(s) -начальная форма жгутика.
3. РЕШЕНИЕ ДЛЯ ОРГАНИЗМА БЕЗ ГОЛОВКИ
Предположим теперь, что сила и момент, действующие на головку
рассматриваемого организма, пренебрежимо малы. Тогда (2.5) является
стандартной задачей оптимального управления с линейными связями и
квадратичным функционалом [2]. Она может быть решена при помощи принципа
максимума Понтрягина [3]. Здесь мы, однако, приведем другое эквивалентное
решение с использованием более традиционных и широко известных методов
вариационного исчисления.
Введя обозначение v't - dvjds, перепишем (2.5) в виде
min
ft L
in М {у] + yv2n) ds ^ (vt\ + yRv'n) ds - 0;
^ 0 0
L L 'j
^ * X (vt\ + v/fy'n) ds = 0; vtds = vk >. (3.1)
о 0 >
Поэтому, согласно определению, (vt, vn) будет оптимальным, только если
L
^ (vt bvt + YR2v't 6vds > 0 (3.2)
о
для любых 6ui(s), 6v'i(s), таких, что
L
^ (6u;l + ds = 0;
(3.3)
^ X X (6иг1 + Y^y;n) ds - 0; ^ bvt ds = 0.
о 0
Здесь 8vl и 6v't - малые приращения vt и v[ соответственно. Пусть теперь
v, <а, 6 - множители Лагранжа, отвечающие
150
О. Пиронно, Д. Кац
ограничениям. Условия (3.2), (3.3) эквивалентны неравенству
L
J [у; - V • I - й • (X X 1)1 bvt ds +
о
L
+ § \Rv'i - v ¦ n - (c) • (X X п)] ds ^ 0 (3.4)
о
для любых bvt и bv'g. Введем обозначение w = и(1 + vnn -
- v - (c) X х- Интегрируя по частям и используя условие не-
растяжимости, получим
Y (Rwn) = J. Wn (0. 0 = wn (L, t) = 0, (3.5)
(3-6)
где "i = wl и wn = wn. Поскольку R ^ 0, уравнение (3.5) имеет
единственное решение wn(s, t) = 0, 0 ^s =S^ L. Поэтому Wi (s, t) - 6 (t),
откуда имеем
v (S, 0 = V (/) + (c) (0 X * (s, 0 + 6 (01 (s, t). (3.7)
Волнообразное движение плывущего жгутикового можно, конечно, всегда
разложить на поступательное v и вращательное ю движения организма как
твердого тела и скорость деформации w относительно этого движения. Из
уравнения (3.7) следует, что оптимальной деформацией является продольное
распространение волны неизменной величины 'вдоль всей мгновенной оси
жгутика. Стоит отметить, что такая деформация была бы, по-видимому, очень
похожа на "ползущее" биение, часто описываемое в литературе. Нетрудно
показать, что расход энергии равен E - ClLvuб. Таким образом, поскольку Ё
неотрицательно, то sign (б) = sign (и*), т. е. скольжение происходит
вперед в направлении распространения волны.
Мы можем отметить здесь, что движение, определяемое равенством (3.7),
дает нам возможность найти траекторию организма в квадратурах.
Использование этих квадратур при численном исследовании движения
жгутиковых (см. раздел "Численное определение оптимальных синусоидальных
биений") обеспечивает большую точность, чем пошаговое интегрирование
уравнения \ = (djdt)%. Следует отметить, что решение общей задачи не
единственно. Любое скольжение вдоль себя при заданной начальной форме
допустимо, если только оно совместимо с ограничениями (2.56) - (2.5д).
Это
Оптимальное плавание жгутиковых
151
требование совместимости существенно ограничивает начальные формы и
деформации. Более детальное обсуждение этих вопросов дано в работе
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 59 >> Следующая