Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Таранина И.В. "Гражданский процесс в схемах " (Юриспруденция)

Смоленский М.Б. "Адвокатская деятельность и адвокатура российской федерации" (Юриспруденция)
Реклама

Биогидродинамика плавления и полёта - Ишлинский А.Ю.

Ишлинский А.Ю., Черный Г.Г. Биогидродинамика плавления и полёта — М.: Мир, 1980. — 177 c.
Скачать (прямая ссылка): biogidrodinamikaplavleniyaipoleta1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 >> Следующая

Направление (-2) выбирается в направлении силы тяжести и принимается
"плоское приближение", согласно которому в направлении, перпендикулярном
z, полевые величины зависят только от х. Компоненту скорости в
направлении^ х обозначим через и, а в направлении г - через да. Тогда
уравнение неразрывности
(14)
(15)
в силу (14) сводится к условию
ди . dw
Анализ установившейся биоконвекции
173
Предполагается, что скорости малы в соответствии со схемой теории
возмущений. Давление и плотность представим в виде р* - р + р', р* = р +
р', где р и р - невозмущенные давление и плотность, зависящие лишь от г,
а р', р'- малые величины. В условиях покоя dp/dz = - gp. Уравнения
движения для направлений х и z
" ди др* * dw др* *
Р -зГ =--?-• Р^Г = --Н--?Р (17>
в линеаризованном виде примут вид
ди др' /10.
Р'дГ= сьГ' <18>
dw др' , /1т
Р ~дГ ~ dz • <19>
После линеаризации уравнение (14) можно переписать в
виде
тг + "'1г"0- <><'>
Примем теперь, что р', р', и, да зависят от х и t экспоненциальным
образом: exp(nt -j- ikx); тогда уравнения (14'), (16), (18) и (19)
сведутся к следующим:
"р' + (r)4г=0' (2°)
iku-\-wz = 0, (21)
при + ikp' = 0, (22)
npw + p'z + gp' = 0. (23)
В этих уравнениях wz = dw/dz, p'z = dp'/dz, a p является заданной
функцией z. Исключая и из уравнений (21) и (22),
получим
, npwz р ~ k2 ¦
Из уравнений (20) и (23) после исключения р' получим
-р' = ярш --|р2да.
Из двух последних соотношений можно исключить функцию р', чтобы получить
уравнение для да:
Wzz + Nz - Wk2 ( 1 - ^2 ) = 0. (24)
Под величиной р здесь подразумевается р*/р.
174
М. Плессет, К. Уиппл, X, Уайнет
Если теперь речь идет об экспоненциальном изменении
плотности типа р (г) = рое^2, то величина |5 в уравнении (24)
будет постоянной. Тогда можно найти его решение в виде
w = eikx+nt [ Ает'г + Вет*г], (25)
где
т. = 7г {- Р + [Р2 + 4?2 (1 - gp/я2)]1'2}, (26)
т, = '/а {- Р - [Р2 + 4й2 (1 - gp/n2)]1/2}. (27)
Предположим теперь, что жидкость ограничена на нижней поверхности 2 = 0
твердой границей, так что w = 0 при z = 0. Это дает
w= Aeikx+nt {em'z - em2Z}. (28)
Выберем верхнюю границу при z = d. Если эта верхняя граница жесткая, то
подходящим условием при z = d будет да = 0. Если же верхняя граница
свободна, то должно быть
¦жр*=-ш^ + ^ = 0-
Тогда для свободной поверхности имеем условие
-р- wz + gw = 0, z = d. (29)
В рассматриваемом случае условие свободной поверхности не дает
существенных отличий от условия твердой поверхности, так как р " 10_4/см.
Из уравнения (29) имеем
l)t0 = O, z = d, (30)
причем
n2m/gk2 < 10~4. (31)
Следовательно, можно использовать условие жесткой поверхности как при 2
= 0, так и при z = d: Если используется
условие w = 0 при z = d, то
g(mt-m7) d - |
или
(ttii - f>4) d = 2iln, (32)
где I - целое. Соотношение (32) вместе с формулами (26)
и (27) дает
п2 -________g$k2d2______
п k2d2 + '/4p2rf2 + /2я2 •
Здесь 1=1, 2, 3, ... . Величина 1 = 0 исключается, поскольку в этом
случае вертикальная скорость исчезает при всех г.
Анализ установившейся биоконвекции
175
Как и ожидалось, уравнение (33) указывает на неустойчивость при р > 0.
Тогда п оказывается вещественным. Если р < 0, то п - чисто мнимое, тогда
происходят колебания, известные как моды Брента - Вяйсяля1). В
неустойчивом случае интересна лишь наиболее быстро нарастающая форма
неустойчивости, которая имеет место при / = 1. Можно
Рис. 5. Зависимость скорости роста возмущения п от длины волны % при
экспоненциальном изменении плотности.
теперь, как делалось и прежде, использовать приближенный подход [5] для
того, чтобы учесть вязкие эффекты, которые пока не включались в результат
(33). Эта приближенная процедура заключается в отыскании коэффициента
нарастания п как решения уравнения
п2 + 2vk2n - k42 ^/tp2d2 + Л2 = 0- (34)
*) Для таких волн наиболее распространенным является термин "внутренние
волны". - Прим. перев.
176
М. Плессет, К. Уиппл, X. Уайнет
Если положить k' = kd, Р'= Р d, n' = n/($g)'i* и v'= = v/d2($g)'l\ то
уравнение (34) можно записать в безразмерном виде:
п'2 + 2v 2к'2п - k,2+ i/4p/2 + Я2 = 0- (35^
Результат численного решения уравнения (35) показан на рис. 5 в виде
зависимости n' = n/(gp)'/j от k' = kd для случая d = 1 см, р = 5.9-
10~4/см, g = Ю3 см/с2, v = = 0.01 см2/с. Из этого рисунка видно, что п'
имеет максимум при k' = 4. Такое k' соответствует Я = 1.6 см, т. е.
величине, близкой к той, которая получена расчетом в случае скачка
плотности, хотя и несколько большей.
Если использовать численные значения, соответствующие переходу по
плотности от средней концентрации Ст к концентрации нижней области С(,
как в примере, рассмотренном детально выше, то найдем предпочтительную
длину волны, не имеющую, однако, значения для анализа экспериментальных
наблюдений. Скорость роста этого возмущения п существенно меньше скорости
роста возмущения при разрывном изменении плотности у поверхностного слоя.
Неустойчивость, связанная с непрерывным изменением плотности, в
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 >> Следующая