Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Специальные функции математической физики - Никифоров А.Ф.

Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики — М.: Мир, 1979. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): specfunkciimatematfiziki1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 133 >> Следующая


* .

^ Фг *0 — 2 ^ (А-пт COS ГСф Bum sin Н-ф) Jп ( ^птГ)

п, т—О

256
(суммирование производится по всем различным собственным значениям X). Постоянные Апт, Впп определяются из начальных условий с помощью свойств ортогональности собственны* функций.

Естественным обобщением задачи (23), (24) является задача о нахождении собственных функций и собственных значений для уравнения

3F {ХШ + [1х~т)у = 0' v> °* <2б>

с граничным условием [ау(х) + $у'(х)]\х=г = 0 и условием ограниченности при х -*¦ 0. Условию ограниченности в окрестности точки х = 0 при заданных значениях % и v 3* 0 удовлетворяет лишь одно из двух линейно независимых решений уравнения (26):

Уг.(х) = Jv(sx), S = VA,.

Уравнение (26) имеет особенность при х -*¦ 0. Поэтому для того, чтобы основные свойства собственных функций и собственных значений задачи Штурма — Лиувилля сохранялись и для этого уравнения, необходимо проверить, что при х-*-0 k(x)W {х),уц (ж)] ->0. Используя разложение функции Jv(sx) в степенной ряд, получим

к (х) W [уч (х), уц (ж)] =

= X j^/v (^l3-) Jv {S2X) Jv (s^x) -rj- Jv (SjXjJ =*

= X'{22Vr2(v+1) (S2^)V_1 — (S2^)VVS1 M«] +

+ О (z2v+1)} = О (a;2v+2)o, z-+0.

Мы приходим к следующим утверждениям.

1. Собственными функциями рассматриваемой задачи являются функции

yvn(x) = х), п = 0, 1, ...,

а собственные значения определяются'из уравнения

а/v (z) + yzj’v (z) = 0, (27)

где -z = VК1, ^ = $/1.

Если a/'K + vCO, то уравнение (27) будет иметь один корень, соответствующий собственному значению К < 0. Для такого значения % во всех дальнейших выкладках следует заменить VA, и JvWkx) соответственно на iV—К и e<I,v/2/v(V—Кх).

17 а. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров 257
2. Собственные функции ЛОХ.* х) ортогональны с весом р(.х) *=а; на интервале (О, I), т. е.

i

^ J\ ^vn*^) /v( 1^*ОС d/ОС -— О, Ш ГЬа

о

Для вычисления квадрата нормы собственных функций воспользуемся тождеством г

J Уь И Ун И Р (ж) dx = ?-4-j7 Л (ж) И" [у?, (ж), У(1 (ж)] f0 =

^ZTjl W \Уу- (ж)* Уи (*М !*=¦* (28)

(аналогичное тождество использовалось при доказательстве ортогональности собственных функций задачи Штурма — Лиувилля).

Переходя в (28) к пределу при Ц Я, и используя правило Лопиталя раскрытия неопределенности, получим г

J у! (х) Р И dx = k (х) W f/?.) |я=г.;

о

откуда

г

Nln~ ГxJ%{Y'kvnx)dx = -^-WlxJ^Vlilx), /v(l/^*)l|*=i J 2 VX h=xvn

(производная берется по аргументу функции Бесселя). Вронскиан легко вычисляется, если выразить вторую производную через первую производную и саму функцию с Помощью уравнения Бесселя. В результате получим

.,2\

• (29)

z~y t-vtj

Уравнение (26) имеет особенность при х -*¦ 0. Однако можно показать, что осцилляционная теорема для поставленной задачи сохраняет силу, так что уравнение (27) имеет бесконечное число корней Я0 < А* < Я-2 < ..., причем собственные функции утХх), соответствующие собственному значению X = Хт, имеют ровно п нулей в интервале (0, I). По теореме сравнения собственные вначения К *= Avn растут с ростом v.

6. Разложения Дини и Фурье — Бесселя. Интеграл Фурье — Бесселя*). Разложение

оо

/И = 2 avnJv(V^vnx)t .(30)

•) Теория разложений Фурье — Бесселя и Дини дана в [3].

?58
где

i

avn — —I xf(x)Jv(VKnx) dx, (31)

vn 0

называется разложением Дини функций f(x). Здесь >.vn — корень уравнения (27), а квадрат нормы вычисляется по формуле (29). Если уравнение (27) имеет вид J„(z) — 0, что соответствует случаю ^ = 0, то разложение (30) называется разложением Фурье — Бесселя. Имеет место следующая теорема.

Теорема 3. Пусть функция Vxf(x) абсолютно интегрируема на отрезке [0, li, и пусть 1/2. Тогда при 0<х<1 раз-

ложение (30) имеет место одновременно с соответствующим разложением в обычный ряд Фурье.

В задачах математической физики часто используется предельный вид разложения Фурье — Бесселя, получающийся из (30) при Мы получим это разложение с помощью не очень

строгих рассуждений. Согласно (29)—(31)

i

„ j xf (х) Jv <knX) dx
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 133 >> Следующая