Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Специальные функции математической физики - Никифоров А.Ф.

Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики — М.: Мир, 1979. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): specfunkciimatematfiziki1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 133 >> Следующая


(д + ?.)•_ 1 _ ‘JLp « ?¦-‘V.+ «>.

то в окрестности точки г = 0 поведение R(r) будет приближенно описываться уравнением Эйлера

R" + + 1) R = 0,

Г

решения которого имеют вид

Я(г) = cirv+1+c2r-v,

где v = —1/2 + V(Z+1/2)2 — ц2 (в дальнейшем мы будем предполагать, что ц < 1+ 1/2). Требование ограниченности функции Я(г) при г -*¦ 0 дает с2 = 0„ т. е. /?(г)_« c1rv+1 при г -*¦ 0.

Поставленная задача принадлежит к типу задач, рас-

смотренному в § 9. Действительно, в данном случае р(г) = 1 /г

и требование ограниченности функции Vp(r)/?(r) при г -*¦ 0 и ее квадратичной интегрируемости на интервале (0, 00) вытекает из поведения R(.r) при г -*¦ 0 и из условия нормировки (19). Поэтому при решении данной задачи мы воспользуемся методом, изложенным в § 9.

Приведем (18) к уравнению гипергеометрического типа

а(г)у" + т Му' + Ку — 0,

полагая R(.r) = ф(г)у(г), где ф(г) — решение уравнения ф'Ар = = л(г)/о(г). Для полинома л(г) в данном случае получаем

269
выражение

зх (г) = 1/2 ± Y(I + 1/2)2 — ц2 — 2цЕг + (1 — Е*) г2 + кг.

Постоянная к должна выбираться из условия, чтобы подкоренное выражение имело кратный корень. В результате получаем следующие возможные виды полинома гс(г):

л(г)=* -i±

Yi — E^r + v + 1/2, к «= 2цЕ + (2v + 1) /l — Я*. V^l — E2r — v —1/2, ft = 2n^-(2v + l) /l-?2.

Из всех возможных видов полинома я(г) следует выбрать такой, для которого функция т(г) ¦= т(г) + 2зт(г) имеет отрицательную производную и корень на интервале (0, +°°). Этим условиям удовлетворяет функция

т(г) = 2(v + 1 — аг), а = У1 — Z?2, v ¦= -1/2 + У« + 1/2)г - ц2, которой соответствуют

it (г) = v + 1 — аг, ф(г) = rv+1e_ar,

Я - 21цЕ - (v + l)aJ, p(r) - r’v+,e-*“\

Собственные значения энергии Е определяются из уравнения Я + пт' + п(п±~1} а" = 0.

Отсюда

Е~Еп=* , 1 ¦ - —, п = О,1, ,,, (20)

1 А + (-----Si_)2

J/ r\in + v + i/

Соответствующие собственные функции у = 1/„(г) имеют вид

, \ / n+2v+l -2ar\

уЛг) - r2v+i;^-r-^(r е )

и с точностью до множителя совпадают с полиномами Лагерра I?n+1 (x)t где х=‘2аг. Для радиальных функций R(r)=Rnl(r) получаем выражение

Дпг (г) = Cn;xv+Ie-3C/2L2nv+1 (х).

Легко проверить, что функции Rnt(r) удовлетворяют исходному

оо

требованию К, (г) dr < оо. Постоянная C„i определяется из

о

условия нормировки (19) точно так же, как и при решении соответствующего уравнения Шредингера.

Рассмотрим переход к нерелятивистскому пределу. В этом случае постоянная ц является малой величиной. Оценим другие

270
величины при ц -*¦ 0;

1Л Еж 1------^---у, а = /1 -?2~----—

2(И + г + 1)а’ ~ ~п + г + 1®

Я„г (г) « Cnlxl+1e~xlsL2nl+1 (x)t х = r•

Эти формулы совпадают с формулами, полученными в п. 2 при решении уравнения Шредингера, если учесть, что для использованной нами системы единиц величина цг переходит в Zr для

2

атомной системы единиц, а энергия Е — 1 — *———-s содер-

2(n +1 + 1)

жит энергию покоя частицы Е„ — 1.

б) Рассмотрим теперь уравнение Дирака для заряженной частицы с полуцелым спином в поле U(r)——Ze4r.

В данном случав волновая функций частицы имеет четыре компоненты ifk(r) (А ¦— 1, 2, 3, 4). Если воспользоваться системой единиц, в которой масса частицы М, постоянная Планка ti и скорость света с равны единице, то уравнение Дирака будет иметь вид [2]

+ ^|>4 .^4
дг Ьх Я * '
ду
+ .°*я
~дг + дх 1~я *
ду
+ 9%
dz дх ду
д% + <>% + .
дг дх 1~я
ду
(21)

О,

Величины Е, ц здесь имеют тот же смысл, что и для уравнения Клейна — Гордона, причем 0 < Е < 1.

В сферических координатах (г, 0, <р) переменные в системе (21) можно разделить, если искать решение в виде

( V (г)1 “ ^ (®> ф)«

/ 2 ( (22)

(j*;:!)=(- 1)(г-г,+1)/а g и Qn,m (е, Ф).

Здесь / — квантовое число, характеризующее полный момент количества движения частицы (/ = 1/2, 3/2, ...); I, V — орбитальные квантовые числа, которые при заданном j могут принимать значения / — 1/2, j + 1/2, причем V — 2/ — I; квантовое число т принимает полуцелые значения в пределах от —/ до /.

Величины Q,im(0, ф) и Qji'm (0, ф) содержат зависимость волновой функции от угловых переменных (их называют шаровыми спинорами). Они могут быть выражены через сферические гармо-

271
ники и коэффициенты Клебша — Гордана, возникающие при сложении орбитального и спинового момента количества движения электрона. Шаровые спиноры связаны с функциями У|щ(6, ф) следующим образом *);
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 133 >> Следующая