Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Специальные функции математической физики - Никифоров А.Ф.

Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики — М.: Мир, 1979. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): specfunkciimatematfiziki1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 133 >> Следующая


В результате подстановки (22) в (21) получаем систему уравнений для функций /(г) и g(r):

Заметим, что в нерелятивистском приближении I/(f) I-» lg(r)[ (в дальнейшем это будет показано).

Условия, определяющие функции /(г), gir) для состояний дискретного спектра, сводятся к следующим: функции r/(r), rg(r) должны быть ограниченными при г 0 и удовлетворять условию нормировки

*) См., например, Ахи с вор А. И.,Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика.— М.: Наука, 1981,.

272

при I *= / + 1/2.

(23)

где

ОО

(24)

о

Запишем систему (23) в матричной форме. Пусть

Тогда

и' = Аи,

(25)
где (см. также § 1, замечание 4)

1 +

Г

[I 1 -К

А-[ (ап а1ъ) 1-
\ Ии 1 \
Е

г г

Для нахождения иДг) исключим из (25) функцию и2(г). В результате для щ (г) получим дифференциальное уравнение второго порядка:

( ' щ — I аи + а23 + — ju 1 +

4" ®2i — % -Ь ~ йц| Mj =» 0. (26)

Аналогично, исключая кДг), получим уравнение для ы2(г): щ — ^йи + а22 + +

(/ \

^11^22 —^12^21 ^22 "Ь “ ^22 J ^2 5=2 (^7)

Коэффициенты матрицы Л имеют вид

aik => ?>«, + c(ll/rf

где Ь», с№ — некоторые постоянные. Уравнения (26), (27) не являются обобщенными уравнениями гипергеометрического типа. Это связано с тем, что

а12 С12

Ci2r + V2'

в

силу чего в (26) коэффициенты при Щ (г) и и,(г) имеют вид

41.

12 Pj (г) СХ2

Оц + й22 + ----------~ — I'tj

°12 Г С12г + Ъ12Г

' , «12 „ _ Рг М с12 С11 + ь11г

®11«22 — Я12а21 «11 + ^11 r2 ^ _j_ ^2' г

(р,(г), рг(г) — полиномы соответственно не выше первой и второй степени). Уравнение (26) являлось бы обобщенным уравнением гипергеометрического типа, для которого о(г) = г, если бы коэффициенты ?>12 или с12 равнялись нулю. В связи с этим удобно воспользоваться следующими соображениями. При линейной замене

•с невырожденной матрицей С, не зависящей от г, мы получаем

273
систему уравнений относительно функций vt(r) и v2(r) того же вида, что и исходная. Действительно, вместо (25) получаем

v' - Av, (28>

где

Ы \e2i aJ

Коэффициенты aik ^являются, очевидно, линейными комбинациями коэффициентов aik. Поэтому они имеют вид

^(к ”= "Ь С ili/fj

где ?«,, — некоторые постоянные. -

Уравнения для функций 1>Дг) и v2(r) будут аналогичны уравнениям (26), (27):

. ~ ,

V1 — I а11 + аВ2 + I *>1 +

V “и/

+ ( йцС22 -- ®12й21 --- &11 + а11 I ^1 — 0» (29)

V а12 /

v2 — I а11 + а22 + j 1>2 +

t (~ fl21 I *

I — I а11 + а22 + ~— I Vi \ «21/

+ ( ^«22 ---- ^12^21 - й22 + а22 I V2 = 0. (30)

\ °21 /

Заметим, что вычисление коэффициентов в (29), (30) несколько облегчается благодаря подобию матриц А и S.:

(1ц ^22 ^ ^11 ^22» ^11^22 ^12^21 = ^11^22 — ^12^21*

Чтобы (29) было обобщенным уравнением гипергеометрического типа, достаточно, чтобы либо о\2 = 0, либо с12 = 0. Аналогично для (30) получаем условие: либо Ъ21 — 0, либо с и = 0. Эти условия накладывают определенные ограничения на выбор матрицы С. Пусть С = Тогда

С-=-Ц-\ “Р). A = «8-PV,

А = - (°ll0C6 _ С™аУ + “2lP6 ~ a22PV “И”" “ Я21Р2 + (“22 “ flll)

Л V a21fi2 “ “l2V2 + («и - «22) 7б “ “uPV + fl12»Y - + «22аб j

274
Условие b12 = 0 дает (1 + Е)а2 — (1 — Е) р2 = О,

* ci2 = О » 2неф + (I (а2 + р2) = О*

» Ь21 =, О » (1 +E)-f — (1— Я)62 = 0,

» с21 = О » 2хуб + |! (у2 + б2) = О.

Мы видим, что существует несколько возможностей для выбора величин а, р, к, 6. В учебниках по квантовой механике обычно рассматривается лишь одна из возможностей, соответствующая условиям ?>12 = О, Ъ21 *= 0. В виде примера рассмотрим случай, когда постоянные a, Pi к, 6 выбираются из условий ?i2 = 0, c2i =¦= 0 (впоследствии будет показано, что это требование предпочтительнее, чем требование Ъ12 = 0, Ь21 = 0). Эти условия будут выполнены, если выбрать матрицу С в виде

Г-( f* v-x\ к й )'
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 133 >> Следующая