Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Специальные функции математической физики - Никифоров А.Ф.

Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики — М.: Мир, 1979. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): specfunkciimatematfiziki1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 133 >> Следующая


Имеем

2avAnL2nlY (0) - - 2а (v + 1) AJ%J? (0) + (l + Вп1%~г (0), откуда

л v + Еу. d л 0

п ап (п -|- 2v) ni

277
Так как

п (п + 2v) = (п + v)2 — V2 = ------v*

?2и2 —V*

1

то Ап— Еу.а—\^п‘ ^вая Функции vM, v2(r), можно найти /(г), g(r):

(t\=C~1(vA (Г1- 1 ( •* *~v)

\s) [vj* v 2v(*_v) \*-v и )•

Поэтому

«г> = 2v ^Г—v) +уги1

«М = 2v (f 1 v) [ftSCi’-t1 ( 0 + (*)],

где

г ей , а (к — v)

fi — Ek — v' /2 —Й —v, gt — Eil_vt «'г —И5

E — En= 1

V" 1 + n2-/(n + V)2’

Формулы для /(r), g(r) сохраняют свою силу и при п = 0: в этом случае надо положить равными нулю слагаемые, содержащие L2nv-V(x).

Вычислим нормировочную постоянную Вп с помощью условия нормировки (24). Имеем

ОО

[г» [/*(г) + в«(г)]Л--

vo-tiW »г +

+ [^л1 (*) + л^гг1 (*)]2} Аг = 1.

При вычислениях возникают два типа интегралов:

оо ОО

Jj = j е~*х“+1 [L“ (x)]2 dx, /, = J «'УС, (x) L“-2 (X) dx.

0 0

Интеграл Л можно выразить через квадрат нормы

ОО

< = J* е-хх“ [L“ (X)]2 dx = ± Г (n + а + 1),

О

278
•если воспользоваться рекуррентным соотношением

{х) — — (п + 1) L“+i (х) + (2п + <х + 1) Ln (х) — (п + а) i (х)

в свойством ортогональности

оо

J e~xxaLn (х) Lm (х) dx — 0( тфп,

о

Отсюда

ОО

Jj = (2п + а + 1) Je“*xa[.L“(x)]2dx — ^ (2п + а + 1)Г(п +а+1). о

Для вычисления интеграла /2 достаточно разложить полином Х“-® (ж) по полиномам (х):

L““2 (ж) = qL“(x) + c2L“_!(x) + ...

Постоянные си с2 легко найти, если сравнить коэффициенты при х” и х"-1 в обеих частях этого равенства: с, =¦ 1, с2 •» —2. Это дает

оо

/, = - 2 J <TV [«_, (Х)р*г - - 21|±$.

О

Поэтому

в — \f (Н —у)(Дх—V) и!

Bn—ta у (xr(n + 2v)

Заметим, что нормировочная постоянная /?„ сохраняет свой вид и при п = 0.

Окончательно получаем

/7 М) = ? л Г (Дх-у)»1 V-1 -х/2 /Ч /Л W-}1 (*Л ,

\*(r)/ v Г |i(x — v)T(re+2v) ?г/ /

где

- au' , a (x — v)

/l ______v* ‘ъ И Vr ___v*

При к = 0 величину ж^п-t1 (*) следует считать равной нулю.

Рассмотрим переход к нерелятивистскому пределу. В этом случае ц * Z/137 является малой величиной. Оценим порядки других величин при ц 0. Имеем

Е » 1 - ц2/(2Д^), N = n + v,

в = П - Я2 « ц/TV, v-lxl«-n7(2lxl).

279
Оценим теперь порядок малости коэффициентов Л, /2, gi, gz относительно ц.

1) Пусть I = / — 1/2. Тогда х = — (Z + 1), х — v « 2х, Z?x — v « 2х и, следовательно,

*г/

2) Пусть Z «= / + 1/2. Тогда х = Z, х — v « |i,2/(2Z), Ex —v > (E - l)x + (x - v) « ца(ЛР - 12)/(21N2), откуда

ft*K й-

Из этих рассуждений видно, что во всех случаях lg(r)| < 1/(г)1, причем

/ (Г)« ± 2ц8/2 ]/(7V(Af|0!1)! (42)

Знак плюс соответствует Z = / + 1/2, внак минус соответствует Z — / — 1/2. Число /V = n + v в нерелятивистском случае равно п + Ixl = п + |/ + 1/2|; оно соответствует главному квантовому числу для решений уравнения Шредингера. Выражение (42) для /(г) полностью совпадает с соответствующим решением уравнения Шредингера.

Интересно отметить, что представление функций /(г), g(r) в виде (41) удобно для перехода к нерелятивистскому пределу, так как один из коэффициентов Д, /2, gi, g2 при ц -*¦ О во много раз больше всех остальных. В то же время в традиционном представлении для функций /(г), g(r) имеется несколько одинаковых по порядку малости коэффициентов. Поэтому для установления совпадения нерелятивистского предела с решением уравнения Шредингера приходится дополнительно использовать рекуррентные соотношения для гипергеометрических функций.

Полиномы Лагерра, входящие в выражения для /(г) и g(r), можно выразить через вырожденные гипергеометрические функции, если воспользоваться соотношением

TSrV‘+» F(-n'a+Ux)-

Тогда (41) примет вид

// (г)\ _ г, v-l -Х/2 Hi h\ txF (— re + 1, 2v + 2, х)\

U(r)J DnX I: -g\[ Fi-n, 2v,x)

где

Dn =

.jr.

(Ex — v) Г (re + 2v)

vr (2v + 2) ' ц (x — v) rel ’
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 133 >> Следующая