Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Специальные функции математической физики - Никифоров А.Ф.

Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики — М.: Мир, 1979. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): specfunkciimatematfiziki1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 133 >> Следующая


Из (5) вытекает, что Г(г) не имеет нулей на плоскости комплексной переменной г. Действительно, пусть Г(г0) = 0. Очевидно, что Zo^n+l (ге = 0, 1, ...), так как Г(/г+1) = = /г!=?^0. Поэтому функция Г(1 —г) будет аналитической при Z — Zo. С другой стороны,

lim Г (1 — z) = —т*~— lim ^4-; = 00 > z^n sm“0»t0r(z)

что противоречит аналитичности функции Г(1 — z) при гФп+ 1.
График функции у — Г(х) приведен на рис. 15.

3. Логарифмическая производная гамма-функции. Наряду в

функцией Г(г) широко используется также функция

Функция if(z) является аналитической во всей комплексной

плоскости, эа исключением точек z = —п Ьг = 0, 1, ...), в кото-» рых она имеет простые полюсы.

Из функциональных соотношений для гамма-функции выте* кают следующие функциональные соотношения для функции

if(z+1) = l/z +$(z), (12)

tt>(z) = г|)(1 — z) — л ctgnz, (13)

2 In 2 + г]}(г) + if(z 4-1/2) = 2if(2z). (14)

Отметим также соотношение, легко получаемое из (12);

П

rf (z + п) = ^(z) + 2 *_ (15)

h=l ~

Соотношения (12)—(15) позволяют вычислить значения if(z) для целых и полуцелых значений аргумента. Обозначим

я1)(1) = Г,(1) = -'г.

Величина у называется постоянной Эйлера (у — 0,577215...). Полагая в (14) z = 1/2, находим

if(l/2) = -7-2b 2.

809
При z—1, z = 1/2 из (15) получаем

П

¦ф (и + 1) = — V + 2 Г'

fe=1

П

» + 4) = -Т-21п2 + 222Г=п- (17)

' fc=l

Из интегрального представления для бета-функции можно получить интегральное представление для tf(z). По определению

* ' 1 (Z) Az-»o 1 (Z> Az Az-»o LAz 1 (z>Az J

Выражение Г(г — Лг)/(Г(г)Дг) при достаточно малых Az>0 почти совпадает с бета-функцией:

В (г - Az, Az) = Г (z ~ГА(У (Az).t

так как

lim ДгГ (Az) = lim Г (1 + Az) = 1.

Az-* о Дг-*о

Величину l/Az, входящую в предельное соотношение для tf(z), удобно исключить, рассмотрев разность “ф(г) — tjj(l). Имеем

ф (г) - ^ (1) - ^ W + V = Urn - !^=^] _

= Jim а^(Дх) [В (1 - Az* Az) — B(z — Az, Az)] =

-¦afer-r-r*-

о

После перехода к пределу под знаком интеграла, что допустимо в силу равномерной сходимости, интеграла при достаточно малых Az, получим интегральное представление для tf(z):

1

•ф (z) = — Y + j* dt, Re z > 0. (18)

О

Заменяя в (18) t на е~‘, получаем еще одно часто используемое интегральное представление:

оо

^ (z) = — Y + J е t~*-t dti Re z > 0. (19)

О

Из интегрального представления (18) можно получить простое представление для ф(г) в виде ряда, если воспользоваться разло-

?10
якением 1/(1 — t) по степеням t и почленным интегрированием:

¦ (20)

тг=о

4. Асимптотические представления. При выводе асимптотики функций Г(г) и я|)(г) будем опираться на асимптотические свойства интеграла Лапласа (см. Дополнение Б)

F(z) шт j e~zif(t) dt.

Для этого предварительно преобразуем интегральное представление (19) для tJj(z) следующим образом:

dt.

¦«--»+j *+1 («-* - - т)

о о

Отсюда

•ф(г) == ifo(z) — F(z),

где

оо

F (z) = J e~ztf(t) dt, fit) = ~ т = 1 —у + -737*

О

оо

<*) = J e~\~te~Zt-dt ~ V + ^(1).

О

Функция if0(z) выражается через элементарные функции. Действительно,

DO

'(z) = J e~zidt = j(

откуда ip0(z) = In z + С. Постоянная С будет вычислена в дальнейшем.

Функция fit) удовлетворяет условиям теоремы из Дополнения Б при 0, = 02 = л/2. Поэтому при larg z| < л — е

71-1 ,

аък\ „ / л \

(z) - In z + С - 2

где ак — коэффициенты разложения функции fit) в ряд по степеням t. Коэффициенты ah можно выразить через числа Бернулли Bh, являющиеся коэффициентами разложения в ряд Тейлора функции t/ie* — 1):
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 133 >> Следующая