Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Специальные функции математической физики - Никифоров А.Ф.

Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики — М.: Мир, 1979. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): specfunkciimatematfiziki1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 133 >> Следующая

метров р и д. Так как интегралы

1

оо

I e-»V~4>. j e~wptNdp

О

1

сходятся, то интеграл

оо

I е-»»| Ape<°)\de

О

сходится равномерно в рассматриваемой области. Поэтому функция F(z, р, q) может быть аналитически продолжена по каждой из переменных в области

Ввиду произвольности постоянных б, N указанную область изменения переменных можно заменить на область

Re р > — 1, z Ф О, —Зя/2 + arg а < arg z < Зя/2 + arg а.

При largzl <я/2 аналитическое продолжение функции F(z, р, д) можно получить с помощью исходного интеграла

По теореме функция F(z, р, q) в секторе Зя/2 + arg а + е ^ ^ arg z < Зя/2 + arg а — в имеет следующее асимптотическое представление при z -*¦

Re — 1 + б, \p\^N, \q\^N, z?=0, —Зя/2 + arg а < arg z < Зя/2 + arg a.

oo

Je tltv(1 + at)qdtf Rep> — 1.

о

МГ (5 + 1 — k)

r(P + fc+l)
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

1. Гамма-функция Г(г).

Определение:

ОО

Г (г) = j е~Нг~ldt, Re z > 0.

о

Аналитическое продолжение. Функция Г (г) может быть аналитически продолжена на всю комплексную плоскость, за исключением точек z = —п (я = 0, 1, 2, ...), в которых Г (г) имеет полюсы первого порядка с вычетами

Res r(z) = (—1)"/«!.

Интегралы, связанные с гамма-функцией:

1

В (х, у) = С f*-1 (1 — = lifUM Re x > 0, Re у >0j

J Г(л + у) '

U

oo

fexp{—afP} — Г (p)_; р—У Rea>0, ReP>0, Re 7 > 0.

J a»P P

0

Функциональные соотношения:

Г (z -J- 1) = гГ (z), Г(2)Г(1-2)=^,

2аг-1Г (z) Г (z + 1/2) = УпТ (2z).

Частные значения:

/1\ / 1\ Т/я(2п)!

Г (« + !)=«!». Г ^ j } =Т/Я> + 2] = фпп\ *

Асимптотическое представление и его следствия1

/ 1 \ 1,

In Г (г) = I z — -jjlnz — z + - j In 2я +

n—1 „

+ y---------^----i-of——V |argz|<jt — a,

jjj~ 2A (2& — 1) z2ft_1 U2n_1 J

JJ* — числа Бернулли, которые можно определить из рекуррентного соотношения

«— 1

821

h=*0
Г (ж + 1) — 1/2пзс ^ е j I1 + 12ж +° (г2)]’ т>0*

____ / ге \и

rel ж у2пп lyj (формула Стирлинга),

1&±*_4,+0(±)].

График функции у — Г (ж) приведен в Дополнении А.

2. Логарифмическая производная гамма-функции if (г).

Определение'.

-ф(г) = Г'(2)/Г(г).

Функциональные соотношения:

ф(* + 1) *= 1/г + l|>(z), ф(г) = l|)(l — z) — п ctgjtz,

2In2 + ip(z) +Ц>(г + 1/2) = 2ф(2г).

Частные еначения:

1р(1) — Г(1) = —т, т = 0,57721566..., tp (1/2) = —f — 21п2,

« l i \ " 1

ф (re + 1) — — V + 2 4' ’Р ( п + У ) — — У 2 In 2 2 ^ 2/с — 1‘

ft=i V ft=i

Интегральные представления и разложение в ряд:

1 оо

(г) *= — у + Г 1 ~~ 1—dt— — v+ Г-—~~ с dt, Rez>0,

J1 — t J1 —e ‘

о о

OO

* (Z) ° — 1) Z (re + 1) (z + W гф~п' »“<>•*••••

«=0

Лсыж/гтогическое представление:

ip(z) = lnz —i-—У -^i_ + of_LV 2г 2te2/? U2n /

fc=i

|argz| jt — в, В» — числа Бернулли (см. п. 1).

3. Обобщенное уравнение гипергеометрического типа.

Дифференциальное уравнение:

„ , *(2) , . о(*) п

и + —т\ и 4- —5-----и = О,

^о(г) г o (z)

o(z), 0(«)—полиномы пе выше второй степени, x(z)—полином не выше первой степени.

Приведение обобщенного уравнения гипергеометрического типа к урав~ нению гипергеометрического типа. Заменой и = ф(г)j/ исходное дифференциальное уравнение приводится к виду

o(z)/' + t(z)/ + %у = О,
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 133 >> Следующая