Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Специальные функции математической физики - Никифоров А.Ф.

Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики — М.: Мир, 1979. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): specfunkciimatematfiziki1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 133 >> Следующая


где x(z) —полином не выше первой степени, Я — постоянная. Функция »tp(z) удовлетворяет уравнению

Ф'/Ф = ji(z)/o(z),

?22
где n{z) —полином не выше первой степени:

*(z) = *I=2± у ^-LzIJ-a+ka.

Постоянная к выбирается из условия равенства пулю дискриминанта квадратного трехчлена, стоящего иод знаком корня. Полипом t(z) и постоянная X определяются из равенства

t(z) -= t(z) + 2л(г), X=fc + n'(z).

Исключения. 1) Если полипом o(z) имеет кратный корень, т. в. o(z) = (z — я)2, то исходное уравнение после замены s = l/(z —а) приводится к обобщенному уравнению гипергеометрического типа, для которого o(s) = s.

•2) Приведение исходного уравнения к уравнению гипергеометрического типа указанным выше способом невозможно, если o(z) = 1, а (т (zy2)a —

— o(z)—полипом первой степени. В этом случае, если положить я(г) =» = —t(z)/2, исходное уравнение приводится к виду у" (az + Ь)у — О. Это уравнение линейной заменой s = az + Ъ сводится к уравнению Ломмеля (14.4).

4. Уравнение гипергеометрического типа.

Дифференциальное уравнение".

o(z)y" +t(z)y' + Ху = О,

c(z), t(z)—полипомы не выше второй и первой степени сортветственно, X — постоянная. Решения этого уравнения называются функциями гипергеометрического типа.

Самосопряженный вид:

(ору')' + Хру = О,

где функция p(z) удовлетворяет уравнению

[o(z)p(z)]' = T(z)p(z).

Линейной заменой независимой переменной уравнепия гипергеометрического типа можно, как правило, привести к следующим каноническим видам.

1) Гипергеометрическое уравнение:

z (1 — z)y" + [y — (a + р + l)z] у' — сфу = ft

2) Вырожденное гипергеометрическое уравнение:

2S" + (К — 2)у' — Щ *=* О.

3) Уравнение Эрмита:

у" — 2 zy’ + 2vj/ = О.

Свойство производных функций гипергеометрического типа y(zy.~ Производные vn(z) = y<n>(z) являются функциями гипергееметрического типа и удовлетворяют уравнению

о 00 v”n + тп (z) vn + finvn =» О,

т„ (z) = т (z) + no' (z), = X + пт' + ^ ^ о".

Самосопряженный вид уравнения для v„ (z):

(оРп^п)^ = 0* Pn(Z) =* О" (2) р (4.

823
Интегральные представления для частных решений #v(z);

Cv Г CTV (s) р (s) t yv{z) = fWJ(s-z)^dS’

вдесь Cv — нормировочная ностояппая, фупкция p(z) удовлетворяет уравнению [o(z)p(z)]' = x(z)p(z), постоянная v —корень уравпепия X + vt'-f-

ov+1 (s) р (s)

*2’

язе О

1

V (V — 1)

-f- --g— о" *» О, коптур С выбирается из условия —--------- v+g

— г)

(*», Н — концы коптура). О различных возможностях выбора контуров С см. § 8.

Интегральные представления для производных частных решений ]/v(z):

a* (z) p (z) с (* — z) + s=o ' '

Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования для частных решений yv(z). Между любыми тремя функциями (г) сущест-

вует линейное соотношение

2 At (z)y^ (z) = О 1=1

с полиномиальными коэффициентами Л, (г), если v< — v,- — целые числа.

О способе вычисления коэффициентов Л;(г) см. § 4 и § 21, п. 4.

5. Полиномы гипергеометрического типа. Полипомы гипергеометрического типа уп (z) —полиномиальные решепия уравпения гипергеометрического типа

o(z)y" + i(z)y' + ky = О,

соответствующие

п (п — 1)

Я.“Я,„=» — пт'—------g----о"1 п = 0,1,2,...

Формула Родрига для полиномов гипергеометрического типаг_

Вп

»nW=^jfiMi[on(z)p(z)]

(Вп — нормировочная постоянная).

Формула Родрига для производных от полиномов гипергеометрического типа yn(z):

Amn=(^^.uSx'+ 2 4°п==1'

Линейной заменой независимой переменпой выражения для полиномов уп(*), функций o(z) и p(z) можно привести к следующим каноническим видам.

1) Полиномы Якоби'.

Уп (*) - (1 - *)-* (1 [(1 - z)n+“ (1 + z)nff5l.

o(z) «= 1 - z2, p(z) = (1 - z)“(l + z}?.

?24
Важными частными случаями полиномов Якоби являются:

а) полиномы Лежандра'. Рп (z) = Р^0,0^ (г};

б) полиномы Чебышева первого и второго рода:

тп (*) = '({/¦))" Р*~г‘й'~м) (z) =cos (» arccos z),

I ¦ ~b._111 n( 1/2,1/2)

(3/2)„

в) полиномы Гегенбауэра'.

(*>*

sin (n -|- 1) ф, sin ф '
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 133 >> Следующая