Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Специальные функции математической физики - Никифоров А.Ф.

Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики — М.: Мир, 1979. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): specfunkciimatematfiziki1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 120 121 122 123 124 125 < 126 > 127 128 129 130 131 132 .. 133 >> Следующая


Ф = arccos *.

(2Я)_

?Л/,\ ^ -----ptt-1/2 A-1/2) , )

(l+i/2)n '

Мы использовали обозначение (a)„ i= a (a +1) ... (a-f-n — 1), («)o.= 1.

2) Полиномы Лагерра'.

Уп (z> = Ln (z> = 4l eZz~al~n (zn+ae~z), a (z) = z, p (2) = zae~z.

5) Полиномы Эрмита:

2 tP / 2\ 2

y„(z) =#n(z) = (—l)"ez — z ),c(z) = l, р(г) = Гг .

•Формулы дифференцирования для полиномов Якоби, Лагерра и Эрмита!

L. Р(«.Р) w = ± („ + a + р +1} р(«+1,э+1) (г)> i ВД = - W. i я«« “ 2»я„_1 w.

Если полином o(z) имеет кратпые корни, т. е. o(z) =» (z — в)*, то соответствующие полипомы уп (г) можно выразить через полиномы Лагерра:

I/n(z) = Cn(2-«)X(rЙ)’ а = -г'-2»+1

i(Сп — нормировочная постоянная).

6. Некоторые общие свойства ортогональных полиномов. Полиномы. j>„(х) ортогональны на интервале (а, Ь) с весом р(я), если ь

j Pm (х) Рп (х) Р (х) dx = 0, тфп.

Явное выражение для полинома рп (х), ортогонального о весом (>(х) на интервале (а, Ъ):

Рп (*) :

Со С1 Сп
С1 с„+1
• • .....
ся-1 ... ^2п-1
1 X ... хп
€п — J хпр (х) dx — момент весовой функции, А„ —нормировочная посто-

янная.

825
Рекуррентное соотношение:

°п I Ьп Ьп+1 \ an-l dn

*Pn(*) = w¦+ [^р*М¦+-ТГ-Щ^ pn-' W.

Здесь

ь

d«= f Pn (ж) Р (*)

«/

a

есть квадрат нормы; a„, b„—коэффициенты прн старших степенях полинома

Рп(х) — а„хп + bnxn~‘ -f- ..а„Ф 0.

Формула Дарбу —Кристоффеля:,

•у Pk (*) Pk (у) = 1 «„ Рп+1 (х) Рп (У) — Рп (^) Рп+1 (у)

S dl <'an+l' Х-У

7.,Классические ортогональные полиномы. Классическими ортогональными полиномами называются полиномы гипергеометрического типа уп(х), для которых фупкция р (х) удовлетворяет условию

O^p^a^la^a. ь = о

(о, Ь — некоторые вещественные числа; к = 0, 1, ...), причем р(х) > 0 па интервале (а, Ь). Эти полипомы ортогопальпы с весом р(ж) па интервале (а, Ъ), т. е.

ь

| Уm (^) Уп (х) р (ж) dx = 0, тпфп.

Классические ортогональные полиномы линейной заменой перемеппой приводятся к следующим каноническим видам:

1) полиномы Якоби Р^’^ (х) при о > —1, Р > —1;

2) полиномы Лагерра 1%(х) при a> — 1;

3) полиномы Эрмита IIп(х).

Основные характеристики этих полиномов содержатся в табл. 1, 2 (см. §| 5, 6).

Асимптотические представления при п-> оо:

p(a,P) (cos 0) = .cos +(a + Р + 1)/?].е ~<2к +*> я/4> . о (ц—з/2)

Р* ( ; (sin (0/2))a+1,2 (cos (6/2))Р+^2 + Щ ’’

О<6^0^я — 6,

L“ (з) = ^ е*/аа.-«/2-Х/4„а/2-1/4 cos |2 у- _ (2a + 1} 2L.J + 0 („а/2-8/4)>

0<6^л:^7У<оо1 Яп И = 1/2 ‘ e*Z/2 [cos + О (n~1/4)j,

|ж| Sj А’ < оо.

Производящие функции:

—i3i]=2 L«1" ехр =2 я«(ж)

«—о «=0

Ш
Полиномы Лежандра. Полиномы Лежандра Р„ (я) ортогопальны Ъ весом р(х) — 1 на интервале (—1, 1). Они являются частным случаем полипомов Якоби Pjj*1® (х) при а = {$ = О и полипомов Гегенбауэра (х) при

v = 1/2.

Дифференциальное уравнение:

(1 — хг)у" — 2ху' + п(п + 1)у =±0, у «= Р„(х).

Формула Родрига'.

W^Srb-T..

Интегральное представление:



РП (*) = 2Г J (x + iVl — ** Sin ф)%.

О

Производящая функция:

1 У pw(*)tn. Vi-2 te + t3

Частные вначения:

Р„(1) = 1, Р„(- !) = (-!)", Рап+1(0)=0,

^2nW- 2s" (nl)8 *

Квадрат нормы:

п ~ 2/1+1*

Рекуррентные соотношения:

(1 — х2) Р’п (*) = — (л + 1) [Рп+1 (л:) — хРп (а:)],

Рп (*) =тгЬ К+>(х) ~ хР'п (г)]= 2^й - pn-i (*>]•

(л + 1)Р„+1 (х) — (2 л + 1)яР„ (л:) + пР„_, (аг) = 0. Асимптотическое представление:

,/~ 2 cos [(ге+ 1/2) 0 — я/4] , _в/ач

М««в-У Ж--------------- упэт--------------+ 0(" >•

Графики полиномов Лежандра Рп(х) длн некоторых 8начепий л приведены на рис. 1 (См. § 7).

8. Сферические функции:

Дифференциальное уравнениеi
Ввпые выражения:

Ylin ie, Ч) = (cos е>,

_ .. (-1)' Т/2/+1 (I m)l tr/2dl+m а ,

в»<*)в”йГ К 2 (Г+"^)Г (1 —л) г(*-*) =

(-D^ i/lT+l (1 + т)! а)-тД , 2у
Предыдущая << 1 .. 120 121 122 123 124 125 < 126 > 127 128 129 130 131 132 .. 133 >> Следующая