Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Специальные функции математической физики - Никифоров А.Ф.

Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики — М.: Мир, 1979. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): specfunkciimatematfiziki1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 .. 133 >> Следующая


®|.-т <*) = (“ «"‘в1т (*), С (в, Ф) = (- i)mY^_m (0, ф).

Свойство ортогональности'.

J У1т (6. Ф) Y*n. (0, <р) dQ = егг,етт,.

Рекуррентное соотношение:

/"« _l 1)2_ т2 /~ /2 — т2

COS 0 Угт(0, ф) -= |/ 4(z + 1)2l7i У1+1,т (6- ф) + |/ 4г2_1 №• Ф)-

Формулы дифференцирования:

” У1т <6> Ф) = imYlm (в- Ф)>

е±5ф ( + -%Г +m Ctg 6 К J = + Yl m+l

(при m = ±(i + 1) следует полагать Kim (б, ф) = 0).

Разложение¦ произвольного однородного полинома степени I по сферическим функциям:

ui (х’ У’ г) — г* 2 CmnYl—2n,m (®> Ф)*

mtn

Разложение произвольного однородного гармонического полинома степени I по сферическим функциям:

I

ul(x,y,z) = rl 2 CimYlm <6- ?>• m=—l

Теорема сложения:

4я *

*1 (cos *>) = 21 +“Г 2 Угт (61’?i) УГт (62. Ф2)

т=—!

(со —угол между векторами ri и г2, направления которых характеризуются углами 01, ф1 и 02, фа),

1 “г1

г^г=2-^#~р*(со8(й)=

1 i=0 >

°° Г I г1 ' 1

= 4я2 I 2/ +1 ¦ гг+1 2 1Ггт ^1’ ^ Угт (е2’ '

1=0 L => Ч1——1 J

г< «= min(rj, г2),. г> == max (ги га).

Обобщенные сферические функции. При вращении системы координат, определяемом углами Эйлера а, р, у, сферические функции Уim (0, ф) пре-

828
образуются следующим образом:

Ylm№< ф)= 2 Dmm> («• Р* Y) ^Ч>').

т'=-1

Коэффициенты Ц*тт, (а, Р, y) называются обобщенными сферическими функциями порядка I.

Явное выражение для функций («> Р> V)"

Dlmm’ («• Р* V) = ехр (i (та + m'Y)} dlmm, (р),

л __________L лГ p + M)i (г~ст)!

ттп' №/ 2т (/ -г т'У- (I — т'У- Х

X (1 — ж)(т_гп')/2 (1 + ж)(т+т');2Р (т-т'.т+тО ^

рО*.Р) (х) — полином Якоби, X = COS р.

Связь обобщенных сферических функций со сферическими функциями.*

^то (а’ Р’ V) — 2г +1 Ylm (Р> а)>

Кш (о. P. V) = (- О" V2Г^1 ^гт (P. V). ?>'вв (а, Р, -v) = pi (cos Р).'

9. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной.

Классическими ортогональными полиномами дискретной переменной называются полиномы уп(х), удовлетворяющие разпостпому уравнению

o(x)AVy +т(х)А у -f- Ху — О,

для которых функция р(ж), являющаяся решением разностного уравпепия

Д[о(ж)р(а:)] = т(ж)р(ж),

удовлетворяет условию

о (х) pte)**!*-». ь — О

(а, Ъ — некоторые вещественные числа; если Ъ ф оо, то Ъ — а — целое число; к = О, 1, ...), причем р(я) >0 па интервале (а, Ь). Здесь

Д/М =/(* + 1)—/(*). Vf(x) =/(*)—/(* — 1).

п (п — 1)

Я = Я„ = — пх' — -¦¦¦- ¦¦¦¦ а".

Эти полипомы ортогональны с весом р(х) па отрезке [а, Ь] в следующем смысле:

2 Уш (*i) Уп (*i) Р (*i) = °» гпфн.

i

Суммирование производится по зпачениям i, для которых а ^ ж,- ^ Ь — 1. Формула Родрига-.

р(х)

71—1 "]

Д а (х — к) .

ft=o J

Для классических ортогопальных полипомов дискретной переменной остаются справедливыми все свойства полиномов рп(х), ортогональных па интервале (а, Ь) с весом р(ж), если в соответствующих формулах интегри-

21 А. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров 329
ровавие на интервале (а, 6) заменить суммированием по дискретным значениям независимой переменной.

Осповпые характеристики классических ортогональпых полиномов дискретпой переменной — полиномов Хана (х), Чебышева t„(x),

Мейкснера тп^'^ (х), Кравчука (х), Шарлье (х) — содержатся

в табл. За — Зв (см. § 12).

10. Некоторые специальные функции, родственные функциям второго рода QB{z) для классических ортогональных полиномов.

а) Неполная гамма-функция:

ОО

Г (а, х) — J е~lta~ldt. х

После замены t па г (1 + s) иптеграл для Г (а, х) приводится к интегральному представлению для вырожденной гипергеометрической функции второго рода G (а, к, х):

Г (а, х) — e~xxaG( 1, 1 + а, х).

Неполная бета-функция'.

X

Вх (Р, q) = J *Р_1 (1 ~ tf-'dt.

n

После замены t на xs интеграл для В*(р, q) приводится к интегральному представлению для гипергеометрической функпии F(а, р, к, х):
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 .. 133 >> Следующая