Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Специальные функции математической физики - Никифоров А.Ф.

Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики — М.: Мир, 1979. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): specfunkciimatematfiziki1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 .. 133 >> Следующая


Рекуррентные соотношения. Любые три гипергеометрические функции F(ai, Pi, Ki, z), F(a2, Рг, Кг, z) и F(a3, Рз, Кэ, г) в случае, когда разности

ok — a*, Pi — ра, — th являются целыми числами, связаны между собой

линейными соотношениями, коэффициенты которых яляются полиномам» переменней z (о методе вывода рекуррентных соотношений см. § 20). Функциональные соотношения:

F (a, Р, у, z) = F (Р, a, y. *).

F (а, Р, y. z) = (1 — f (y — а, у — Р, y. z),

F{a' Р’V’t) = n(v-57(v-p)F(0!’ P’a+P-V + l.l-z) +

+ Г (Y),r, (“+-RP~ Y) (1 - *)т~а~Р Fi У-a, y-P, Y с* — P -}- t, 1 ¦— z)r Г (а) Г (P)

J’<“'p’ v'')=rwrf=4,_J,"“,'(“'a"‘v+1,“_|i+'' 4)+

+,r"F (|1-11 “v+1 ¦ ^ 4)'

| arg (— z) | < л.

Из последнего функционального соотношения и разложения гипергеометри-. ческих функций от аргумента 1/z в ряд вытекает асимптотическое представление для функции F(а, р, к, z) при г-* оо,

836
Комбинируя последние три функциональных соотношения, можно получить еще целый ряд других функциональных соотношений:

F («, р, у, «) = (!- z)~a I ^ ^' F («, у - р, i + « - р, j4l) + + (1“z)-p Т1?=ЖП§'р(т-а’р’ 1“a + P-r=l)-

I arg (—z) | < я, | arg (1 — z) | < я,

-fz“ v(l-z)v “ pr № —— f(y — a, 1 — a, 1 +Y~a—P>“7“)»

|argz| < n, |arg(l — z)| < n,

F (a, P, y, z) = (1 — z)~“/’ |a, у — P> Y> Г^т)’ 1 аг^ (* — *) I <

F(a,p, v*z)=(l — z)~pF^y — a. I arg (1 — z) | < n.

Выражение различных. функций через гипергеометрическую функцию/ F{a, 0, к, z) = 1, F(a, Р, Р, z) = (1 — z)-“,

Г(ге + а+1) / , „ , , 1—z\

(g) ==.п1Г(а+<) *¦(-», » + « + P + l,« + U— j-

P + 1) ( i+i\

jj-----re, re + a + P + 1, P + l, 2 J»

(- 1)ПГ (re +

ШГ (p + 1)

Pn(z) = n, n+ 1, 1, ~2“j = (— 1)"^^— »,» + *. 1. я/а

К (z)= J (l — z2 sin2 <p)~1,2 i% = |f j, 1, z*j,

О

Я/2

? (z) =. J (i — z2 sin2 ф)1/2Лр = \f — T* *' **)•

13. Вырожденные гипергеометрические функции F(a, у, г) и С (а, у,г).

Дифференциальное уравнение:

гу" + (К — z)y' — ay = 0.

Частные решения:

а) yi = F(a, V, z), уг = z*-Tf(a — к + 1, 2 — к, z);

б) yi = G(a, К, *), У* — e*G(4 — a, у, —z).

Интегральные представления:

1

*(a’ Y*z) = f (a)V?i - а)" J<а_1 (i “ Vedt, Re Y > Re а > О,

О

837
оо

z~a С , .f t \v—«—1

G (а, у, г) =» j e *ta 1 f 1 + yj dt, Rea>0,

II

OO

G (a, y, z) = p ^ J e~2Ssa—1 (1 + s)y~a~lds. Re z > 0, Re a > 0. Разложение e ряд:

(a)n zn

F(a,Y.‘) = 2lC"r

n=0

Формулы дифференцирования:

¦^F(a, Y,a) = ^-F(a + 1, y + 1. *).. d

^ G (a, Y. z) = — aG (a -f- 1, у + 1, z),

3"l*“G (a, y» z)] = — ----^—— fz“G (a, у — 1, *)].

Рекуррентные соотношения. Любые три вырожденные гипергеометрические функции F(ai, fi, z), F(a2, 72, z) и F(aa, 43, г) в случае, когда разности at — а»,, уt — к» являются целыми числами, связаны между собой линейными соотношениями, коэффициенты которых является полиномами относительно переменной z. Аналогичные утверждения имеют место и для функции G(а, у, z) (о методе вывода рекуррентных соотношений см. § 20). Функциональные соотношения:

F(a, к, z) = ezF(y — а, к, —z), G(а, 4, z) = z‘-*G(a — к + 1, 2 — к, z),

G (a, y> z) = ¦[’ (a_у ^ F («> Y> z) + TTa) z* yF (a у -{-1, 2 — y> z)»

F (a, Y. z) = tTy~-«T e±i™G (a* Y’ г)+т|е'±ЙМС <V - Y. - z)

(знак плюс соответствует lmz>0).

Об особых случаях функциональных соотношений см. § 21, п. 3. Асимптотические представления при z-*-oo;

G (а, у, *) = [1 +.0 (l/z)J,

" <- V. «> - <- *'¦“[' + ¦0 (f)] + ’¦,*->[< + ,о (i)],

|arg 21 sg я, |arg(—z)|

Выражение различных функций через вырожденную гипергеометриче-скую функцию:

m к, z) = G(0, if, z) = 1, F{a, ct, z) = e*, G(a, a+ 1, z) = z-“,

L“ (z> = »|Г (а + 1)J F(—n,i-\-a, *)•

7v <z> = Г (v + 1) e“*F (V + 2"’ 2V + *• 2a)*

Av (z) = Уп (2z)ve~2G (v + j, 2v + 1, 2zj.

838
14. Функции Эрмита H\(z).

Дифференциальное уравнение'.

у" — 2zy’ + 2vy = 0.

Частные решения:

а) Ух = IIv (z) • = /7v (— z>:

б) ?/i = (iz), у2 = e*2//_v_1 (— iz).
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 .. 133 >> Следующая