Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Специальные функции математической физики - Никифоров А.Ф.

Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики — М.: Мир, 1979. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): specfunkciimatematfiziki1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 133 >> Следующая


(а, Ъ) и существует такая постоянная с0 > 0, что

ь

J е°°|Ж| р (х) dx < оо. (7)

а

Для доказательства рассмотрим непрерывную на интервале (а, Ъ) функцию fix), удовлетворяющую* условиям (5), (6). Рассмотрим также функцию комплексной переменной

ь

F (z) = J eixzf (х) р (х) dx (8)

О

в полосе llmzl ^с при с<с0/2. Покажем, что в этой полосе функция Fiz) является аналитической. Для этого достаточно доказать равномерную сходимость интеграла (8). Так как в рассматриваемой полосе

I eixtf (х) р (х) | < e'xlm« | / (х) | р (х) < ee»W/* \f(x)\p (.х),

то интеграл Fiz) будет сходиться равномерно в этой полосе, если мы покажем, что интеграл

j еС°,Х|/21 / (ж) | р (х) dx

а

сходится. Сходимость последнего интеграла вытекает из неравенства Коши — Буняковского

ь Г~Ъ Б

j /0|,1/2 | ^ ^ | р ^ | есо|х1 р ^ | р ф р dx < оо.

а а а

По теореме об аналитичности интеграла, зависящего от параметра, функция Fiz) будет аналитична в полосе llmzl ^ с и, в частности, апалитична в круге Ы ^ с. Поэтому ее можно разложить

Ба
в ряд Тейлора:

F(z) = |>№>(0)?, М<с. (9)

К—о

Пользуясь аналогичными оценками, нетрудно доказать равномерную сходимость в той же области интегралов, получающихся в результате дифференцирования подынтегрального выражения по z. Следовательно, при вычислении производных Fm{0) можно производить дифференцирование под знаком интеграла, откуда

ь

F(h) (0) = J (ix)hf (х) р (х) dx, к — 0, 1, ...

а

Раскладывая (ix)h по полиномам рп(х) (п = 0, 1, ..к) и ИС' пользуя (6), получим

FM(Q) = f (ix)hf (ж) р (х) dx = f [ 2 chnpn (ж)1 / (х) р (х) dx = a a Ln=o J

h

— 2 Chn

71-—0

Так как F(h)(0) — 0, то из разложения (9) вытекает, что в круге Ы *? с функция F(z) равна нулю. По принципу аналитического продолжения F(z) = 0 при любых z, принадлежащих области аналитичности функции F(z). В частности, F(z) = 0 при любых вещественных значениях z.

Очевидно, что формулу (8) для F(z) можно записать также в виде

оо

F (z) =¦ J eixzf (х) р (х) dx, (10)

—оо

если положить f(x)p(x) = 0 при х<а и х>Ъ.

Выражение (10) для F(z) при вещественных значениях z представляет собой коэффициент разложения функции f(x)p(x) в интеграл Фурье. Согласно равенству Парсеваля для интеграла Фурье имеем

оо оо

J If (х) Р (х)12 dx = ~ J | F (z) |2 dz = 0.

—оо —оо

Отсюда в силу непрерывности функции f(x) и положительности веса р(ж) при х^(а, Ь) получим fix) 0 на интервале (а, Ь), т. е. система ортогональных полиномов {/?„(;*:)} действительно является замкнутой на интервале (а, Ъ).

J 1 (х) Рп (х) р (х) dx = 0.

60
Используя явный вид функции р(ж) для классических ортогональных полиномов, легко показать, что перечисленные выше условия, наложенные на функцию р(:с), для классических ортогональных полиномов выполняются. Для полиномов Лагерра достаточно выбрать с0 < 1, а для полиномов Якоби и Эрмита условие (7) будет выполнено при любом с0 > 0. Поэтому система классических ортогональных полиномов является замкнутой на интервале (а, Ъ) для непрерывных функций fix), удовлетворяющих условию (5).

3. Теоремы разложения. Опираясь на замкнутость системы классических ортогональных полиномов и оценки иэ § 7, легко найти простейшие условия, обеспечивающие справедливость разложения (2) произвольной функции fix). Докажем, что имеет место следующая теорема разложения.

Теорема 1. Пусть функция fix) непрерывна при а<х<Ъ и имеет кусочно непрерывную производную на этом интервале, а функция р(ж) является весом для классических ортогональных полиномов y„ix). Если интегралы

ь ь

j /2 Сх) Р (х) dx, J [/' (x)f о (ж) р (х) dx

а а

сходятся, то на интервале ia, Ъ) справедливо разложение (2) функции fix) по полиномам ynix), причем ряд (2) сходится равномерно по х на любом отрезке [xt, х2] cr ia, Ъ).

Доказательство. Оценим предварительно коэффициенты Фурье с„. Производные классических ортогональных полиномов, как было показано в § 5, являются классическими полиномами, ортогональными на интервале ia, Ъ) с весом о(ж)р(л:). Поэтому, согласно неравенству Бесселя, для коэффициентов разложения с„ функции /' (х) по полиномам yv (ж) имеем
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 133 >> Следующая