Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Специальные функции математической физики - Никифоров А.Ф.

Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики — М.: Мир, 1979. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): specfunkciimatematfiziki1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 133 >> Следующая


¦<(*)



Ур (х)у(х, ку

gOL 't 2» I l^P*’

x2n nf ,ax2 + fix •

(a/2+n+D^—рж/2 ж-<п+1)е-(са-2 fP*)/2

В обоих случаях функция Vp(х)у(х, Я) не удовлетворяет условию квадратичной интегрируемости на интервале (а, Ъ). Следователь-по, и в этих случаях с2 — 0. Исследования поведения фупкции Ур(х)у(х, К) при х а, подобные проведенным выше, приводят к равенству с, = 0.

Таким образом, мы показали, что при любых значениях п

lim о (я) р {х) W (уп, у) = 0,

lim о (я) р (х) W (уп, у) = 0.

х->Ь

Эти соотношения возможны лишь при у(х, К) = 0. Действительно, если К?=%п Ы — 0, 1, ...), то из (9) при xt->-a, x2-*-b получим

ь

\y{x,'K)yn{x)p(x)dx = 0, /г = 0,1,...

a

В силу замкнутости системы классических ортогопальпых полиномов это равенство возможно лишь при у(.х,Х)~ 0 для х^(.а,Ь).

Если же А,*=А,„, то в силу (10) имеем W[yn(x), у(х, А,)]=0,

т. е. решения у„(х) и у(х, К) оказываются линейно зависимыми,

что противоречит исходному предположению. Теорема доказана.

71
3. Задачи квантовой механики, приводящие к классическим ортогональным полиномам. Лрбмллюстрируем применение доказанной теоремы дня решения ряда задач квантовой механики, когда уравнение Шредипгера может быть приведено к обобщенному уравнению гипергеометрического типа.

Пример 1. Рассмотрим задачу о нахождении собственных значений энергии Е и собственных функций для линейного гармонического осциллятора, т. е. для частицы, движущейся в поле с потенциальной энергией V = та>гх2/2 (т — масса частицы, х — отклонение от положения равновесия, со — круговая частота). Эта задача играет важную роль в квантовой механике, квантовой электродинамике, при рассмотрении колебаний в кристаллах и молекулах.

Уравнение Щредингера для волновой фупкции 1]з(ж) гармонического осциллятора имеет вид

Л2 d2ib ты2 „

+ = ~°° <*< °°-Функция я])(а;) должна быть ограниченной и удовлетворять условию нормировки

оо

j я])2 (х) dx = 1.

—оо

Для решения поставленной задачи вместо координаты х и анергии Е удобно ввести безразмерные переменные ?, е:

х = т/ — ? = ag, Е = Time.

" ты *

Тогда получим уравнение

ф" +(2e-?2)i]) = 0

(штрих означает дифференцирование по ?). Это уравнение является обобщенным уравнением гипергеометрического типа, для которого о(?) = 1, т(?) = 0, о(?) = 2е — ?2.

Поставленная задача принадлежит к типу задач, рассмотренному в п. 1. Действительно, в данном случае р(?) = 1. Поэтому

требование квадратичной интегрируемости функции Vp(?)i])(?) вытекает из условия нормировки. При решении данной задачи воспользуемся рассмотренным выше методом. Приведем уравнение для функции 1]з(?) к уравнению гипергеометрического типа, полагая я])(?) = <p(?)i/(l), где q>(?) является решением уравнения

ф'/ф = п(|)/о(?).

Для полинома п(?) в данном случае получаем выражение я(|) = ±Ик- 2е + Ъ\

Постоянная к должна выбираться из условия, чтобы подкореп-

72
пое выражение имело кратным корень, т. е. к — 2е. Из двух возможных видов полинома зх(^) = ±? следует выбрать такой, для которого функция

г(?) = г(1) + 2я(1)

имеет отрицательную производную. Условия, налагаемые па функцию т(?) будут выполнены, если выбрать т(?) = —2?, что соответствует

я(|) = — I, ф(?) = е_|/2, Я = 2е — 1, р(|)=е-Б.

Собственные значения энергии определяются из уравнения

А , / ^ 1) It П*

% + пт н—5—2—- 0=0,

что дает е = е„ = п + 1/2, т. е.

Е = Еп = 7га>(п + 1/2), п — О, 1, .:.

Собственные функции yn(W находим по формуле

М?) = V^(e~E’)-

С точностью до множителя они совнадают с полиномами Эрмита //„(?)• Для волновой функции ф(х) нолучаем выражение

¦фп (х) = Cne~l ,2Нп (I), х = а?, a = ]/"

Постоянную С„ можно найти из условия нормировки

оо

J "фи (х) dx = 1.

—оо

Пример 2. Рассмотрим модельную задачу о нахождении собственных значений энергии Е и собственных функций для одномерного уравнения Шредингера

il 2 m

¦ф'; + U (%) lj5 == — оо < X < оо,

которое онисывает движение частицы в поле

U и0> О

ch ах

(потенциал Пешля — Теллера, см. Ф л ю г г е 3. Задачи по квантовой механике, т. 1 — М.: Мир, 1974). Функция ф(х) должна быть ограниченной и удовлетворять условию нормировки
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 133 >> Следующая