Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Специальные функции математической физики - Никифоров А.Ф.

Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики — М.: Мир, 1979. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): specfunkciimatematfiziki1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 133 >> Следующая


0(. _*(*) = (—1)т0!тЫ. (9)

Отсюда видно, что функции &1т(х) при т < 0 будут по-прежпему являться решениями уравнения (5). Таким образом, уравнение

(2) при ц = 1(1+ 1) имеет ограниченные однозначные решения

У1т (9, ф) = -1=, eim,,,0Im (cos 6), (IQ)

у lit

Функции F!m(0, ф) называются сферическими функциями порядка I.

Приведем явные выражения сферических функций для некоторых наиболее простых случаев:

Yl0 (0, Ф) = У^ Р, (cos 0),) (11)

Yю (6» ф) *= У cos 0,

Yt.±i (0. ф) = ± }/"~ cos Qe±l* (12)

Легко проверить, что функции Ylm(0, ф) удовлетворяют следующим соотношениям ортогональности:.

j" Ylm (6» ф) Yi>m' (0» ф) dQ = (13)

О

Здесь интегрирование производится по телесному углу dQ =» sin 0 dQ йф, 0 < 0 < я, 0 ^ ф 2я.

79
Из (9), (10) видно, что

Y*m (0, <р) = ©1т (cos 6) Ф_т (<р) - (- If Ylt-m (0, Ф). (14)

Таким образом, мы получили в явном виде функции Y(0, ср), определяющие зависимость от углов ограниченного решения ы = Жг)У(0, <р) уравнения Лапласа.

Для определения функции Жг) получаем из (1) уравнение Эйлера

1*В." + 2rR' - Щ + Ш = 0,

общее решение которого имеет вид

Жг) = с,г‘+ с2г“'_|,

где Ci, Cz — постоянные. Следовательно, частными решениями уравнения Лапласа являются функции г‘У,„,(0, <р) и -щ Ут (0, <f)*

первые из которых применяются при решепии внутренних, а вторые — при решепии внешних краевых задач для шаровой области. Эти функции называются шаровыми функциями.

Замечал и е. Другой подход к изучению сферических функций, основанный на использовании представлений группы вращений, рассмотрен, например, в [6]. Этот подход находит применение нри изучении теории момента количества движения в квантовой механике.

2. Свойства сферических функций. Рассмотрим осповпые свойства функций У!т(0, ф).

1) Из рекуррентного соотношения для полиномов Якоби и связи функций Oim(x) с полиномами Якоби (¦') при т^О лег-

ко выводится рекуррентное соотношение для функций Y,m(0, <р) по индексу I:

cos6*Улп = гН1- + у

Полученная формула сохраняет свой вид при т < 0, в чем нетрудно убедиться с помощью (14).

2) Дифференцируя соотношение (7), получим формулу дифференцирования

dBlm _ тх ^ ^ f l (I + 1) — т (т +4) ,

1-х2

Заменяя здесь т на —т и используя (9), можно получить другую формулу дифференцирования

dBlm тх а fl (I + 1) — т (т — 1) а

— «гт — у ------ г----------»/,я

В формулах дифференцирования следует полагать ©(«.(ж) = 0 нри т = ±.(1 + 1).
Приравнивая два выражения для dOim/dx, приходим к рекур-рептпому соотношению для фупкции 0(т(ж) по индексу т\

2тх

;©Irn = Vl{l + 1) — т (т+ 1) ©/>m+i —

Vl

— Vl{l+ 1) — т (т — 1) ©;,т—1-

Если использовать (10), можно получить формулы дифференцирования для сферических функций. Так как

dYlm (0> Ф> = _ gip е еШР Щт (*)

oc=cos^

Л ....уш

то формулы дифференцирования для ©!т(ж) можно иереипсать в виде

+ mctge-yIm)= Vl{l + l) — m(m±:l)Yhm±1.

(15>

В (15) следует полагать У(т(0, ср) = 0 при m = ±(Z+l).

Из явного вида сферических функций вытекает также формула -дифференцирования по углу <р:

—%~ = imYl „(О.ф). (16>

3) Выведем интегральное представление для функции

dl+m ?

Ylm(Q, ф). Для этого в (7) представим функцию dxi+m с помощью интегральной формулы Коши

dl+m ,а \1 _(1 + ™)\ Г (1 - *2)'

dxl+m

ds,

где С — контур, охватывающий точку s = х. В качестве контура С удобно выбрать окружность с центром в точке s = х радиуса У1 — х'\ Тогда, полагая s = х + У1 — з?е'а, получим

dl+m 2\1

---ГГ- (1 — X2) =

dxl+m к ’



= (- 2)1 У +.^И (1 _ я?)-™'* Г (х + i sina)i da,

щ)

о

Подставляя полученное выражение в (7) и используя (10), получим интегральное представление для У|т(6, ф):



Y[m (0,Ф) = Вш | e~im(a~v) (cos 0 -f i sin (:) sin a)1 da =
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 133 >> Следующая