Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Специальные функции математической физики - Никифоров А.Ф.

Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики — М.: Мир, 1979. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): specfunkciimatematfiziki1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 133 >> Следующая


О

23T—<p

== Bim [ e-ima [C0S 0 j sin 0 sin (a ф)]г day

~4>

6 А. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров 81
где

Blm “ ш V^ (* - m)! + m)!-

Так как интеграл от периодической функции по отрезку, длина которого равна периоду, не зависит от положения этого отрезка, то



Yim (0, ф) = Blm j e~tma [cos 0 + г sin 0 sin (а + <p)J.1 da. (17)

о

3. Связь однородных гармонических полиномов и сферических функций. Решая уравнение Лапласа Аи = 0 в сферических координатах, мы нашли ограниченные при г-*-0 частные решения этого уравнения

и!т(г, 0, ф) =-г'У!т(0, ф).

С помощью интегрального представления (17) функции щт( г, 0, <р) можно записать в декартовых координатах

х — г sin 0 cos ф, у = г sin 0 sin ф, z = г cos 0.

Имеем



Щт {г, 0, ф) = Blm J e~ima\r cos 0 + ir sin 0 sin (a+ф)]1йа =»

о



= B[m j e~ima(z + ix sin a + iy cos a)1 da.

о

Отсюда видно, что функция ulm(r, 0, ф) является однородным полиномом степени I относительно переменных х, у, z.

Напомним, что однородным полиномом степени I называется выражение вида

щ{х,1/,z)= 2 ci1i2i3xhy,2z3t h'h<h

где суммирование производится по неотрицательным индексам U, h, h, сумма которых равна I. Однородным полиномом является, например, выражение гг = х* + у2 + г2.

Подсчитаем число линейно независимых однородных полиномов степени I. Для этого достаточно перебрать все возможные комбинации значений I, и 12, так как нри фиксированном I одпо-впачпо определяется 13 = I — I, — 1г. При заданном U значение 12 Меняется от h — 0 до l2 = l — h, т. е. принимает 1 — 1 i + 1 значений. Поэтому общее число линейно независимых однородных

?2
полиномов степени I равно /,=о

Однородный полипом, удовлетворяющий уравнепию Лапласа, называется однородным гармоническим полиномом." Выражение г'У(т(0, ф) является примером однородного гармонического поли-пома.

Из однородных ПОЛИНОМОВ Г2 И г‘-2"У1_2„, т(0, ф) можно составить однородные полиномы степени I

Ulmn(x, У, z) = (r2)V-2ny,_2n>m(0, ф) = НУ-гп. m(0, ф).

Здесь индексы /га, п принимают целые значения, удовлетворяющие неравенствам

0 2п I, — (I — 2п) т *? I — 2п.

В силу линейной независимости сферических функций Yi-2n, m(0, ф), вытекающей из их ортогональности, однородные полиномы и1тп(х, у, z) будут линейно независимы. При фиксированном значении I — 2п число возможных значений т равно 2(1 — 2п) + 1. Поэтому полное число рассматриваемых однородных полиномов будет равно

2[2(/-2п) + 1] = <ШН±2).

«

Так как число построенных нами однородных полиномов равно полному числу линейно независимых однородных полиномов степени I, то произвольный однородный полином степени I можно представить в виде лИпейной комбинации однородных полиномов г'У,_2П1 то(0, ф), т. е.

Щ (X, У, z) — Г1 2 CmnYI—2п,т (9, ф). (18)

т,п

Мы получили разложение произвольного однородного полинома по сферическим функциям. С помощью разложения (18) нетрудно показать, что произвольный однородный гармонический полином степени I является линейной комбинацией однородных гармонических полиномов г'У,„,(0, ф).

Действительно, пусть ut(x, у, z) — однородный гармонический полином, т. е. Дц( = 0. Тогда, применяя оператор Лапласа

1

Д = Дг + — Д0 ф к разложению (18), получим г

Ащ = Г1 2 [^ (^ + 1) — — 2о) (I — 2п + 1)] CmnYi—2n,m (9| ф) =

tn,n

= г'-2 2 2и (21 — 2п + 1) cmnYt-in'm (0, ф) = 0.

myn

В силу линейной независимости сферических функций У^гп. т(0, ф) 6* 83
получаем равенство

2пШ — 2 п + 1 )стЛ = О,

т. е. Стп — 0 при п > 0, что и требовалось доказать.

4. Обобщенные сферические функции. При вращении системы координат однородный полином переходит в однородный полином той же степени. С другой стороны, при таком вращении оператор Лапласа сохраняет свой вид, т. е. Axyz — Ах>у>г>. Поэтому любые однородные гармонические полиномы при вращении системы координат переходят в однородные гармонические полиномы той же степени. Отсюда

U-lm (Ж, Г/, й) ~ 2 Drnrn'Uimt (ж ,1/ , Z ), т'

где и1т{х, у, z) = г'У1т(0, ф). Следовательно,

i

Ylm(Q, ф)= 2 Dlmm’Ylm' (0\ф'). (19)

т'~—1

Таким образом, линейные комбинации функций У(т(0, ф) при фиксированном I образуют (2? + 1)-мерное пространство функций, инвариантное относительно вращений.
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 133 >> Следующая