Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Специальные функции математической физики - Никифоров А.Ф.

Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики — М.: Мир, 1979. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): specfunkciimatematfiziki1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 133 >> Следующая


Коэффициенты Dlmm>, очевидно, будут Зависеть от параметров, определяющих поворот системы координат. Произвольный поворот ¦координатной системы относительно начала координат полностью определяется заданием трех вещественных параметров. Действительно, любой поворот можно охарактеризовать однозначно указанием направления оси поворота (два параметра) и величиной угла поворота (один параметр). Наиболее часто в качестве параметров, характеризующих поворот, употребляются углы Эйлера а, р, которые позволяют описать произвольный поворот с помощью трех последовательных поворотов вокруг координатных осей: а) поворот вокруг оси z на угол а; б) поворот вокруг нового направления оси у на угол Р; в) поворот вокруг нового направления оси z на угол у *). Таким образом,

Dmm’ = Dmm' (®> Р» V)"

В дальнейшем матрицу с элементами Dlmm’ («»Р. у) мы будем обозначать D{a, р, у) и пазывать матрицей конечных вращений.

Произвольный поворот однозначно определяется углами Эйлера, если они меняются в следующих пределах; О а < 2п, •О sS р < я, О Y < 2п. Если же углы Эйлера не находятся в этих пределах, то следует иметь в виду, что поворот с углами

*) Иногда при введении углов Эйлера поворот на угол р совершают не вокруг нового направления оси у, а вокруг нового направления оси х. Углы Эйлера a?, f>', f', введенные таким способом, связаны с углами Эйлера а, Р, f соотношениями а' = а +,я/2, Р' = р, Y = у — я/2.

84
ia + 2лn,, p + 2лл-2, у + 2яи3) совпадает с поворотом (а, р, ^), если п„ Пг, п3 — целые числа. Поэтому

/Ла + 2яп„ р + 2пп2, у + 2яи3) “ D(a, р, 'jf).

Кроме того, заметим, что поворот (а, р, 'jf) эквивалентен повороту <(я + а, —Р, я + 7).

Обратный поворот будет характеризоваться углами

а* = “ У, Р» = - р, Tfi = - а,

что эквивалентно повороту

(я + а„ — р,, я + Tf,) = (я — Tf, р, я — а).

Поэтому матрица обратного поворота совпадает с матрицей поворота (я — у, р, я — а), т. е.

D-'(a, р, у) = Din — р, я — а).

Функции Dlmm' («, Р, у) носят пазвание обобщенных сферических функций, так как для ряда частных случаев они совпадают с обычными сферическими функциями. Их называют также D-функциями Вигнера. Обобщенные сферические функции широко используются в квантовой механике *).

Выведем ряд основных свойств обобщенных сферических функций и получим для пих явное выражение через параметры а, р, у. Так как при вращении системы координат элемент телесного угла пе меняется, т. е. dQ — dQ', то из условий ортогональности

.ЙУ.у0. Ф>йй J Ум- Ф, ф") (0', ф'> я? = 6т,.

вытекает соотношение

2 Dmm' (ОС» Р, У) ["-Dnijin' Р> Т)] = ^ттj>

mf I J

т. e. матрица D+(a, p, 7), являющаяся транспонированной и комплексно сопряженной к матрице D(a, Р, у), совпадает с D~l(.a, р, у). Это означает, что матрица D(cc, р, у) унитарна. В связи с этим из (19) получаем

Yim'(Q', ф') = 2 [Dmm' («, р, у)]* Ylm (0, ф). (20)

т

При использовании равенств D~4a, р, у) *=D(n — у, р, я —а),

*) См., например, Давыдов Л. С. Квантовая механика,— М.: Наука, 1973; Л х и е з с р А. И., Б е р е с т е ц к и й В. Б. Квантовая электродинамика.— М.: Наука, 1981.
D~l(a, P, у) = D+(a, p, у), получим следующее соотношение:

Dmm' (Я V, Р» Я tt) = \Dm'm (&, P, Y)] • (21)

Другое простейшее свойство обобщенных сферических фупк-ций легко получается из свойства (14) сферических функций Ylm{Q, ф):

Dlmm. (а, р, у) = (- 1)" [Dl-m,-m> (а, Р, У)]*. (22)

Перейдем к получению явных выражений для обобщенных сферических функций Dlmm' (сс, Р, у). Пусть совершаются последовательно два поворота, определяемые параметрами a,, plt 71 и а2, Р2, Та» эквивалентные одному повороту с параметрами а, р, у, причем в результате первого поворота сферические координаты (0, ф) некоторого фиксированного вектора переходят в сферические координаты (0i, Ф1), а в результате второго поворота координаты (0„ ф,) переходят в (0', ф'). Тогда

Yim (0» ф) = 2 (®1» Pi5 Yl) Y 1пц (01, ф1)*

ml

Y(mj (0ц Ф1)= 2 Dmim’ (®2, Р21 V2) Yim> (0 , ф )•

7П'

С другой стороны,

Ylm (0, ф) = 2 D'mm' (а, р, У) Ylm' (0', ф')-

т'

Из сопоставления этих разложений в силу линейной независимости сферических функций находим

Dmm' (tt, Р, V) = 2 ®tnmj (®j* Pi> Vl) Dm^m' (^2> P2, V2)* ml

т. e.

D(a; p, 4) — D{au p,, уt)D{a2, p2, yz),

так что при последовательном выполнении двух вращений их матрицы перемножаются в обратном порядке. Аналогичное соотношение имеет место при выполнении нескольких последовательных поворотов системы координат. Из этого рассуждения и определения углов Эйлера вытекает, что для нахождения вида обобщенных сферических функций Dmm' («> Р, ?) надо найти их выражения лишь для случаев, когда повороты совершаются вокруг оси z и оси у. Обозначим через Стт> (а) и dmm- (Р) обобщенпые сферические функции, соответствующие повороту на угол а вокруг оси z и на угол р вокруг оси у. Тогда имеем
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 133 >> Следующая