Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Специальные функции математической физики - Никифоров А.Ф.

Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики — М.: Мир, 1979. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): specfunkciimatematfiziki1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 133 >> Следующая


Dmm' Pi Y) = 2 Cmmi (a) dmym2 (P) Ст%т' (V)*

Получим явные выражения для функций С1тт' (°0- При вращении на угол а вокруг оси z сферические координаты (0, ф)

86
некоторого фиксированного вектора переходят в координаты 0' = 0, ф7 = ф — а. Поэтому

Y[m(0, ф) = У[т(0', ф' + а) =» eimaYlm(Q', ф').

С другой стороны,

Y,m (0, ф) = 2 Clnm' (а) Ylm, (0', ф').

т’

Отсюда

Стт’ (а) — е1ТПа&тт'

т, следовательно,

Dlmm. (а, р, у) = ei(ma+m'v)dlmm, (р). (23)

Найдем теперь функции dlmmt (Р), соответствующие вращению системы координат на угол р вокруг оси у. В этом случае

Ylm (0, Ф) = 2 dim' (Р) Ym. (0', ф'). (24)

in'

Новые координаты (ж', у', z') связаны со старыми (х, у, z) соотношениями

х = х’ cos р + z’ sin р, у = у', z — z' cos р — х' sin р. Переходя к сферическим координатам, находим связь (0, ф) с

<0\ фО:

sin 0 cos ф = sin 0' cos ф' cos р + cos 0' sin p,

(25)

sin 0 sin ф = sin 0' sin ф',

cos 0 = cos 0' cos p — sin 0' cos ф' sin p.

Для определения dlmm> (P) найдем дифференциальные соотношения между этими функциями. Так как в правой части (24) наиболее просто произвести дифференцирование по р и ф', то будем

рассматривать это соотношение при фиксированном значении 0', считая переменные 0 и ф функциями переменных р и ф/. Поэтому

0Ylm (е- Ф) . dYlm дв дУшд<р

д$ 50 SP + дц> др*

д^1т (в» ф)_ dYlm дв , &Ylm fig,

дц>' дв д<р' дц> дц/"

Производные dQ/d$, dQ/dq>\ дц>/д$, дц>/дц>' вычислим с помощью соотношений (25). Дифференцирование последнего из этих соотношений дает

дв дв . д .

= cos-ф, 3^7 = — sm р sin ф.

Производные дф/др, дц>/дц>' легко определяются с помощью диф-

87
ференцирования соответственно второго и первого из соотношений (25):

щ = — ctg 0 sin ф, = — sin р ctg 0 cos ф + cos p.

Отсюда

dYlm ф) dYlm (S’ Ф) ,,.Q . /a 4

= cos ф-------------------im ctg В sin фYim (0, ф),

Г dYlm (6> ф) 1

in p sin ф —^-------------h im ctg 0 cos ф У /m (0, Ф) +

+ imcosfiYim (0, ф).

dYlm@’ Ф) • оГ - dYlm№’ Ф)

----—-------= — sm " ----------

dtp

Для вычисления производной дУ(т(0,ф)/д0 воспользуемся формулами дифференцирования (15). Так как в (15) входят величины е±щдУ1т/дв, а в выражения dYlTJd$ и dYlm/dq>' — величины cos ipdYtm/dQ, втфdYlm/dQ, то для того, чтобы воспользоваться формулами (15), предварительно составим соответствующие линейные комбинации из величин dYlm/d$ и dYlrJdq>'. Имеем *Гт <0’ Ф) -j- _i_ dYim(6, Ф) = е±н XSYu

sp sin Р дф'

1т ¦ mctg 0У(ОТ

ее

± т ctg РУira = =F V 1(1 + 1) —т (т ± 1) У 1<т±1 (О, ф) ±

± Ш Ctg РУ(т (0, ф)-

Если воспользоваться разложением (24) для величин YIm(0, ф), Yi. m±i(0, ф) и приравнять в левой и правой частях равенства коэффициенты при У1т'(0', ф'), то получим искомые дифференциальные соотношения для функции dlmm' (Р):

dmm' ± -----g-n р--- d'mmt = 1{1 + 1) — ™ ± 1) d'm±i,m'-

(26)

Здесь следует полагать ^+<г+ i>,m'(P) = 0. С помощью соотношений

(26) и условия dlmm' (0) = 6mm/, вытекающего из (24) при р = 0, можно однозначно определить все функции dlmmi ф), если рассматривать соотношение (26) как линейное дифференциальное уравнение относительно im1 (Р), считая функцию dlm+x,m’ (Р) заданной. После умножения (26) на интегрирующий мпожитель

ехр{± J dp} = (1 - cosP)±(m'_m)/2 (1 + со8р)т(т'+т)/2

получим

[(1 - cosp)±(m'-m)/2 (1 + cosp)T(m'+m)'Vmm, (Р)] =

= =F VI (I + 1) - m (m ± 1) (1 - cosp)±(m'-m)/2 X

X (1 + cosp)T(m'+m)/2d^±a,m,(P). (27)

88
Используя верхние знаки и полагая т — 1, находим

(1 — cosp)tm'~,) 2 (1 + cos p)~(’n'+') 2dlm> (P) = const.

Отсюда

dm' (P) = Clm. (1 - cos p)«-m'>-* (1 + cos

где Cim*—нормировочная постоянная. Функции (Р) при
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 133 >> Следующая