Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Специальные функции математической физики - Никифоров А.Ф.

Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики — М.: Мир, 1979. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): specfunkciimatematfiziki1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 133 >> Следующая


т< I можно выразить рекуррентным образом через d[mr (р), взяв .в (27) нижние знаки. Произведя замену переменных

X == COS р, Vmm' (#) = (1 — (1 + X)(m+m'),2dlmm' (Р)>

^Ю1'

получим

_________________1________________

т 1 ,т У 1(1-(-1) — т (т — 1) dx

откуда

— w~m гг _______________-___________Alm г

е=т +1 ~[/l (I + 1) — s (* — 1) dxl~m 1Ш

Vmm

т. е.

t _ (_<)l-m(1_g)<m'-»y2(1+a)-(m'+,l,)/2

«mm' ф; “ klmf \ " a

П Vi(i + i)-*(*-i).

e=v»l+l

ч/ ______

dx1

Для определения постоянной Cimr воспользуемся равенством d'm'm' (0) = 1. Произведя в (28) дифференцирование по формуле Лейбница, получим

J m)_r 2~m'2l+m' (I т')\

П Vi(i + i)-*(*-i)

s—m'-f 1

Это дает

Д Vi (/ + 1)_в(,-ц

п s—m'+l

lm' ~ 2l (I — т')\

Так как

д u(i+i)s(s-i)]= л (i+s)xi-s+i)=

*=m+l e=m+l V-rm)-

то окончательно получаем

л' - <- 1>'~m l f (l + m)! ~ m)! v

amm' ф; - 2, (i _ m)! V (i + m')\ (i _ TO')| *

X (1 _ *)(-»'—)/2 (1 + ^-(m'+m)/* [(1 _ x)l-m' (1 + *)<+"*']. (29)

89
Отметим, что величины dlmm> (Р) вещественны. Их можно выразить через полиномы Якоби (ж) прп х — cos р:

л' /о\ . 1 l/ (l + m)\(l — то)! w

^ “ 2“ У V + m')> V - m')!

X (1 _ *)<«-»'>.* (1 + *)(«-№'). 2p(m-m',m+mO (ж) (2ga>

Функции (P) можно записать в другом виде, если вос-

пользоваться соотношениями симметрии, вытекающими из (21)—

(23) и вещественности функций dmm> (Р):

d'mm> = (— 1 )m-m'dlm>m, dlmm. = (- (30)

С помощью соотношений (30) всегда можно добиться того, чтобы выполнялись неравенства

т — т' > 0, т + т' > 0.

Рассмотрим частный случай формулы (29) при т'— 0. Сравнивая формулу (29) при т' — 0 и (8), имеем

dmo (Р) = У 2J _j_ 1 ®1т {х), откуда _____

Dlmn (а, Р, У) = У щп Yi« (Р. а)> (31>

Dlno (а, р, у) = Р, (cos Р).

С помощью (21) можно получить другое аналогичное соотношение:

D\m (а, Р, У) = (- 1Г ‘/йТТ У,т(Р’ У)-

5. Теорема сложения. Выведем одно полезное соотношение для сферических функций, известное под названием теоремы сложения. Для этого положим в (20) м' = 0 и воспользуемся формулами (11), (31):

Pi (cos 0') = 2 Ym (0, Ф) Y*m (p, a). (32)

m

Соотношению (32) можно придать простой геометрический смысл. Для этого рассмотрим два произвольных вектора г,, г2, направления которых характеризуются сферическими координатами (0i, Ф1), (02, фг)- Пусть угол между этими векторами равен ю. Положим в (32) 0 = 0j, ф = ф, и совершим поворот (а, р, у) таким образом, чтобы направление повой оси z совпало с направлением вектора г2. Очевидно, что углы а, р будут сферическими углами новой оси z в старой системе координат. Отсюда легко видеть, что а — ф2, Р = 02, а угол о между векторами ri и г2 совпадает с 0'. В результате формула (32) примет вид

i

Л (cos ш) = 2 (01- <Pi) Ym (02. Ф*)- (33)

т=—1

Соотношение (33) называется теоремой сложения для сферических функций. Оно имеет многочисленные приложения, пагтри~

90
мер в теории атомных спектров. Особенно , часто формула (33) используется при разложений величины 1/1 г* — г21 вряд по сферическим функциям У|т(01, УтОг, ф2). Так как (см. § 5)

оо ,

II 2 | 1=о >

то по теореме сложения для сферических функций получим

сю I j.

ГГ=-Г\ "2 2 ITT! 1^Уьп (01. Фа) Y*lm (021 ф2), (34)

I 1 *1 1=о т—*-1 ^ г>

где r< = min (r„ г2), r> = max (rt, r2).

Примеры. 1. Рассмотрим потенциал

и W =* J Jrlvj dx'> (35)

v

создаваемый электрическим зарядом с плотностью р(г), находя-дящимся в некотором объеме V. Для вычисления потенциала и(г) на больших расстояниях от объема V удобно получить его разложение по степеням 1/г, выбирая начало координат внутри объема V. Используя разложение (34) при г, ==г, г2 = г' и г>г', выражение (35) можно представить в виде
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 133 >> Следующая