Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Специальные функции математической физики - Никифоров А.Ф.

Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики — М.: Мир, 1979. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): specfunkciimatematfiziki1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 133 >> Следующая


°° 1 О

“(г) = 2 2 1ГГУ'-(0-Ф)> (36)

г=о т——1 '

где

Qim = йТТ JГ''Р (г')(0'’ Ч5')*'• (37>

V

Формулу (36) обычно называют разложением потенциала по мультиполям.

Если объем V имеет форму шара 0 <г < а и р(г') = р(г'), то интеграл (37) легко вычисляется: Qtm — У4я Qbm 6m0, где Q — суммарный заряд. В этом случае и{г) — Q/r, как и следовало ожидать.

2. Используем теорему сложения (33) при решении первой внутренней краевой задачи для уравнения Лапласа в шаровой области:

Ди = 0, и(г, 0, ф)\т=а = /(0, ф).

Решение этой задачи будем искать методом разделения переменных в виде ряда по шаровым функциям r'yim(0, ф);

и {г, О, Ф) = 2 И’Ylm <0’ ^ (38>

1,7П

Коэффициенты Clm находятся из граничного условия на сфере г •= а и ортонормированности сферических функций У,т(0, ф).

91
Поэтому

C,m = §f(W,<i>')Y*n(Q', ф')Л2'.

Решение (38) можно представить также в виде интеграла. Для этого подставим выражение для Ст в (38), поменяем местами суммирование и интегрирование, а затем произведем суммирование по т с помощью теоремы сложения:

и (г, е,•с)-]'/ (е’, Ф') Г 2(тУу'« ч>) у‘“ <е--»')]dQ' --1/(в'-'р')[2Ёк1(тУр-м]‘К!'-

Здесь р. — косинус угла между направлениями (0, ф) и (O', ф'):

р = cos 0 cos 0' + sin 0 sin 0' cos (ф — ф').

Чтобы произвести суммирование по I, воспользуемся производящей функцией для полиномов Лежандра:

2Щ -|- t“

Так как

2 (21 + 1) tlPt (р) = 2 Vi 2 (* + -jY~l/2Pl (-u> =

I I

-2 V't^l r *У* ¦ ) =

dt\ Vi -ztfi + t3/

TO

2 (2i +1) (^)'л (p)— i-м»)2

i — r

(l — 2tyi -|- r):l

S/2

[1—2 цг/а + (r/a)2Ja/

и, следовательно, решение первой внутренней краевой задачи для уравнения Лапласа в шаровой области представляется в виде

U (г, 0, ф) = у— Г/ (0', ф') -------------

v v* 4я J 1 к ^ ' [1 _ 2\ir/a + (r/a)-]3/2

§ 11. Функции второго рода

1. Интегральное представление. Как было показано в § 3, дифференциальное уравнение для классических ортогональных полиномов имеет решения вида

,,-fz) _ Г °П Р ^ ds (1\

y{z)-pw){8-z)’*'aS’ (>

где контур С выбирается таким образом, чтобы удовлетворялось
условие

on+ (s) p (s)

(*-

0,

(2)

-Z)n+2

где s4, s2 — концы контура. Замкнутый контур, охватывающий точ-

Бпп\

ку s = z, дает при С„ = ? . классические полиномы {/„(г),

ортогональные на интервале (а, Ь). Другой возможный вид контура С при z&[a,b\ — отрезок прямой, соединяющий точки st — а и s2 = Ъ. Условие (2) в данном случае выполняется в силу условия (5.17). Соответствующее решение при Сп = В„п\ называется функцией второго рода и обозначается Qn(z):

ф. (3)

vnw Р (z) J (s — z)n+1 W

a

Из явного вида функции p(z). (см. § 5) нетрудно заметить, что эта функция может иметь точки ветвления при 2 = а и 2 = i. В таких

случаях для однозначности функции Qn(z) необходимо провести

разрезы на плоскости комплексной переменной z, например разрез (а, +оо) от точки z — a вдоль вещественной оси вправо. При этом можно считать, что р(ж + Ю) =р(ж) при х (а, Ь).

Интегрируя в (3) по частям п раз, получим интегральное представление, связывающее Qn(z) с полиномами i/„(z):

On (z) :

Bn(n-i)\

P(z)

+.)

в

pT«)

- f *) J

6

ds.

Мы воспользовались тем, что подстановки равны нулю в силу условия (5.17), так как [ст (z)p(z)]( *= AmnB~ ° (z) Р (z) * (2)*

С помощью формулы Родрига для полиномов yn(z) полученное равенство можно записать следующим образом:

ь

е.(1) <

W P(*)J S — Z

(4)

Интегральное представление (4) иногда удобно переписать в виде

ь ь

i (*) — Уп (г)

Qn(z)

Р

1_ГГ У„(

• р (s) ds +

a J

Первый интеграл является полиномом второго рода rn(z) (см. п. 3

93
§ 6), второй интеграл может быть выражен через функцию Qa(z). Б результате получим
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 133 >> Следующая