Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Специальные функции математической физики - Никифоров А.Ф.

Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики — М.: Мир, 1979. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): specfunkciimatematfiziki1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 133 >> Следующая


+ Р)

Таким образом, все особенности, второго решения Qn(z) определяются поведением функций Q0(z) и 1/р(z).

2. Асимптотическое представление. С помощью (4) можно получить асимптотическое представление Qn(z) при больших |z|. Для этого воспользуемся равенством

1 _i_ 1 = _ i_ Гу щь (s/z)p+1 1

? — Z Z 1 — s/z Z I « \ Z / 1 — s/z I

Lfc=o J

(s — z) z*’+1"

—42(тГ+

/{=0

Интегрируя это равенство с весом i/„(s)p(s) в пределах от а до b, получим

Р &

Р (z) Qn (Z) = — 2 ~m f shy>‘ (S) Р (S) ds + -fS» (6)

h=nZ i Z

где

*Р+1!>п (v) P (*)

rp(z) = j

ds.

При интегрировании мы воспользовались свойством ортогональности (6.5).

Если z оо и при этом кратчайшее расстояние от точки г до интервала (а, Ь) ограничено снизу, то величина |r„(z)| будет ограничена, и равенство (6) дает нам асимптотическое представление функции QAz). В частности, при р — п из (6) имеем

е»М = -т-грга-[1 + 0(т)]- Р>

ап р (z) z +

Здесь и в дальнейшем мы будем использовать следующее обозначение: /i(z) = 0[/2(z)] при z z0, если в некоторой окрестности точки z — zo функции /Дг), /2(z) удовлетворяют неравенству

l/,(z)| ==SC|/2(z)l,

где С — ностоянпая.

Из асимптотического представления (7) видно, что функции второго рода Qn(z) и классические ортогональные полиномы yn(z) имеют различное асимптотическое поведение и поэтому являются лпнейно независимыми решениями дифференциального уравнения для классических ортогональных полиномов (за исключением случая и = 0, а + р + 1 = 0 для полиномов Якоби (z)).

94
3. Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования.

Так как интегральное представление (3) для Qn(z) отличается от интегрального представления для yn(z) лишь постоянным множителем 1/(2ш) и выбором контура, то функции Qn(z) и i/„(z) будут удовлетворять одним и тем же рекуррентным соотношениям и формулам дифференцирования (см. §§ 5, 6):

%Qn (z)= (z) + (z) “Ь 4nQn—1 (z)» ^ ^ 1, (8)

О (z) Qn (z) = [ т„ (z) <?„ (z) — Qn+1 (z) ].

ПТ„ [ "n+l. J

(9)

Для производной функции второго рода с помощью формулы (4.7) можно получить интегральное представление

ь

O' (z) ^

( ) О(*)Р(*) J (,_,)» ’

(.-«)"

где = т' + —2~ При и = О это представление приводит к

следующему дифференциальному уравнению для функции Q0(z)'-

o(z)p(z)Q’0(z) = C, (10)

где

С — коВ0 J р (s) ds =

Мы воспользовались тем, что по формуле Родрига j/0(z) = В0 = а0.

Из уравнения <10) легко получить удобное интегральное представление для функции ?>0(z):

zo

(И>

(*)Р(*)‘

z

В качестве z0« удобпо выбрать такое значение z, для которого Qo(z0) = 0. Из асимптотического представления (7) видно, что для фупкций Лагерра второго рода (z) можно положить z0 = — а для фупкций Эрмита второго рода положить z0 *= ±i°°. Для фупкций Якоби Q^a'^ (z) можно взять z0 = °° при а + р>—1. fcb.

Из (И) вытекает, что при z-*-x, где же (а, Ь), существуют пределы Qo(x rfc Ю), и, следовательно, в силу (5) существуют предельные значения Qn (х rfc Ю). Так как, согласно (4), p(z)Q„ (z) = p(z)(?n (z) (черта — знак комплексного сопряжения), то при z — х в качестве второго решения уравнения для классических ортогональпых полиномов удобпо выбрать не Qn (х ± Ю), а вещественную комбинацию этих функций

Р (*) Qn (ж) = V2 [Р (х + *0) <?„ (х + i0) + Р (х — г°) <?п (х — *0)] (напомним, что р(х + i0) = р (¦?)).

05
Можно показать, что при таком определении функции Qn (х) будут удовлетворять тем же соотношениям, которым удовлетворяют полиномы Уп(х) при же (а, Ъ). Будет оставаться справедливым и интегральное представление (4), если понимать интеграл в смысле главного значения, так как интеграл в (4) является интегралом типа Коши (см., например, [9]).

4. Некоторые специальные функции, родственные функции второго рода Q0(z): неполные бета- и гамма-функции, интегральная показательная функция, интеграл вероятности, интегральные синус и косинус. Из формулы (11) вытекает, что функция Qe(z) для полиномов Якоби сводится к неполной бета-функции Вt(.p, q) заменой f = 2/(l + s), для полиномов Лагерра — к неполной гамма-функции Г(«, z) заменой t = —s, для нолиномов Эрмита — к интегралу вероятности Ф(г) заменой t = dzis. Функции ВДр, q), Г(а, z), ФЫ определяются следующим образом:
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 133 >> Следующая