Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Специальные функции математической физики - Никифоров А.Ф.

Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики — М.: Мир, 1979. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): specfunkciimatematfiziki1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 133 >> Следующая


Г (a, z) = J e~lta~ldt, Ф (z) = -?= J e^dt.

Z о

Для однозначности функции Г(а, z) следует сделать разрез от точки z = 0 до z = — оо вдоль вещественной оси. В соответствии с этим разрезом в формуле для Г(а, z) при вычислении ta~l следует считать larg f I < я. Аналогично, в формуле для Вz(.p, q) следует считать 0 < argz < 2л, 0 < arg t < 2л, larg (1 — i)| < л.

В виде примера рассмотрим интегральное представление (11) для функций Лагерра и Эрмита второго рода.

1) Для функции Лагерра второго рода, полагая в (11) z0 = — получим *)

—оо —оо

+ 1) J = г (а + 4) J

г г

= Г (а + 1) e~i7iaT (- а, - z). (12)

При целых значениях а — тп (тп = 0, 1, ...) функцию Qo (z) можно выразить через функции

-f-oo оо

Еп (z) = z"1-1 j ? ds = j dt, (13)

z 1

которые находят широкое применение в физике.

*) Для однозначности функций Qn (z) нами был сделан разрез от точки z = 0 до z = +оо вдоль вещественной оси. В соответствии с этим разрезом, в формуле (12) при вычислении «“+* следует считать 0 < arg s < 2я.
Функции Em(z) называют обычно интегральными экспонент тами. Полагая в (12) а — тп, при z > 0 получим

Оо (- *) = Е„+1 (z). (14)

2

С помощью асимптотического представления (7) для (?0(z) из соотношения (14) легко найти асимптотическое представление для функции Em(z):

г-(*)~[1 + °(т)} <15>

Дифференцируя (13), получаем формулы дифференцирования E'm (z) = (*)--?!=- Ет.г (Z),

V 6

из которых вытекает следующее рекуррентное соотношение:

Ет (z) == т ^ [е zEm-x (z)]. (16)

Иеследуем теперь поведение функции Em(z) при z->-0. Для »того в силу (16) достаточно исследовать поведение функции E,(z). При z 0 функция Eiiz) имеет особенность. Для выделения ее проделаем следующие тождественные преобразования;

сю сю I 1

^(*) = = + + = г 1 z г

i*.

— C — In z

где

oo 1

С s (’ * A

¦ds.

c=j4L* + j'iL-L

1 о

Разлагая e~‘ по степеням s и интегрируя почленно, получим разложение функции Ei(z) по степеням z:

Ex (z) = С - In z + 2?• (17)

ft=i * fcl

Для вычисления постоянной С воспользуемся интегрированием по частям: _______

00 1

С — e~s In s J* + J e~s In s ds + (e~* — l) In s ? + J" e~* In s ds =

1 о

OO

= J e~* In s ds = Г' (1) = — y,

о

где 7 — постоянная Эйлера (см.,Додолвевие А).

7 А. Ф. Никифоров, в. Б. Уваров 97
Наряду с Z?i(z) на практике часто употребляются родственная ей интегральная показательная функция Ei (2), связанная соотношением

Et(.z) <==— Ei (—2),

Л также функции

г г

Si (2) = J ds, Ci (s) = J ^ ds,

0 00

которые называют интегральным синусом и интегральным коси-нусом. При z>0, используя лемму Жордана [9], имеем

со *Ноо оо

iz iz z

« J ??1L dt - i j ^ dt = - {Ci (2) + i [\- Si (z)]},

Z Z

так как

оо

Jsint n

-rd‘ = T

0

Таким образом, при z > О

Ci;(2) « -1 [Ег (iz) + Ei (- i2)]t

я ! (18> Si (z)^^ + ±[E1(iz)-E1(-iz)].

По принципу аналитического продолжения эти соотношения остаются справедливыми в более широкой области изменения z.

Из формул (15), (17), (18) легко поручить асимптотические представления и разложения по степеням z для Si (2), Ci (2). Имеем, например,
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 133 >> Следующая