Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Специальные функции математической физики - Никифоров А.Ф.

Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики — М.: Мир, 1979. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): specfunkciimatematfiziki1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 133 >> Следующая


С; М _ V (- I)»»»*1

01 W (2A+l)(2fc + l)l *

а«-т + ь.-

Так как степенные ряды для Si (2) и Ci(z) сходятся во всей-комплексной плоскости, то функция Si (2) — аналитическая во всей комплексной, плоскости, a Ci (2) — аналитическая в плоскости с разрезом вдоль полуоси С—00, 0],
2) Для функции Эрмита второго рода, полагая в (11) z0 ±i<x> (знак совпадает со знаком Imz), получим

±1оо

(?о (z)=2 / п [ е‘ ds.

9

При z > 0 имеем

(*2) = 2 Vn J e’ds = 2\fni§e * ds = ni [1 — Ф (г)],

iz г

где

Z

Ф(г)=-|= (19)

Т/я J г о

Функцию Ф(г) называют интегралом вероятности.

С помощью асимптотического представления (7) для Qe(z) легко найти асимптотическое представление для интеграла вероятности:

Рагложение функции Ф(г) по степеням г можно получить,

__ я

разлагая в (19) е * в ряд и интегрируя почленно:

«TW.4 2 у (-рУ**1

Л!(2Л+1) '

С интегралом вероятности тесно связаны интегралы Френеля S (z) = J sin dt, С (z) = J cos — dt.

о о

Действительно, при г > О имеем

2 nt2

C{z)-i^(z) = ^e^dt = -^o{y i\z).

о '

Полученная связь позволяет получить асимптотическое поведение и разложение в ряды интегралов Френеля.

Графики функций Е^х), Si (ж), Ci (х), ФЫ, Six), С(х) приведены на рис. 3—5.

7* 99

§ 12. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной

1. Разностное уравнение гипергеометрического типа. Развитая ранее теория полиномиальных решений дифференциального уравнения гипергеометрического типа

oix)y" + х(х)у' + Ку — 0 (1)

(aix) и xix) — полиномы не выше второй и первой степени *), Я — постоянная) допускает естественное обобщение на случай, когда дифференциальное уравнение заменяется разностным. Рассмотрим наиболее простой случай, когда дифференциальное уравнение (1) заменяется разностным уравнением

~(ж) J_ р (х + h) — у (х) _ у(х) — у(х — h) j +

+ т&| »(* + h)-y(x) + У («)-_?<«,-*) j + hj {х) = 0> (2)

которое аппроксимирует уравпение (1) на сетке с постоянным шагом A x*=h со вторым порядком точпости относительно h**).

Линейной заменой независимой переменной а; на hx, сохраняющей тип уравнения, всегда можно добиться того, чтобы в уравнении (2) шаг сетки был равен единице (Ах = ft = 1). В этом случае

а (ж) [ у (х + 1) — 2у (ж) + у {х — 1)] +

+ ^Y*~{[y (* + 1) — у (ж)] + [у (х) — у(х — 1)]> + hy(x)=0.

Это уравнение можно переписать в виДе

о (x) AS7y (.х) + (Д + V) у {х) + Ку (ж) = 0, (2а)

где Afix) = /(а:*+ 1) — fix), V fix) =* fix) — fix — 1). Так кйй Vfix)=> = Д fix) — AS fix), то (2a) эквивалентно уравнению

oix)A^y(x) + x(x)Ayix) + Kyix) = 0, (3)

где cix) *= cix) — xix)/2, xix) — xix). Очевидно, что cix) — полином не выше второй степени.

*) Для удобства дальнейшего изложения мы обозначили коэффициенты уравнения (1) через о{х) и т(ж) вместо о(х) и т(ж), как это было принято в гл. L

**) Говорят, что разностный оператор аппроксимирует в точке х-дифференциальный оператор L с порядком точности m относительно шага h, если

Lhy(x)—Ly(x)==0(hm), й-9-0.

104
Прежде чем переходить к изучению решений уравнения (3), рассмотрим ряд свойств операторов А и V, Имеем

Af(x)‘=Vf(x+1), (4)

Affix) *= VAfix) = fix + 1) — 2 fix) + fix — 1), (5)

A[/(:r)g(:r)] *= fix)Agix) + gix + 1)Afix). (6)

Из (6) вытекает следующая формула суммирования по частям:

2 / fa) Ag (Хг) = / (*i) 8 {*i) la —2 g (*i+i) А/ (*i)> (7)

i i

Здесь xt+i = x, + 1, суммирование производится по таким значениям i, для которых а х, b — 1. Заметим, что для произвольного

полинома qnix) степени тп выражения Aqmix) и Vqm(x) будут

полиномами степени ire — 1, причем Атдт (х) = Vmqm (ж) = (х)~

Установим ряд свойств решений уравнения (3), аналогичных свойствам решений уравнения (1). Докажем, что функция vtix) =» ^ Ayix) удовлетворяет разностному уравнению вида (3).

Для доказательства применим оператор А к обеим частям уравнения (3):

АГоСг^уДа:)] + АСтСлО^Дл;)] + A-i>i(:r)= 0.

Используя (6), (4), это уравнение можно привести к виду
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 133 >> Следующая