Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Специальные функции математической физики - Никифоров А.Ф.

Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики — М.: Мир, 1979. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): specfunkciimatematfiziki1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 133 >> Следующая


aix) A^Viix) + 'Ctix)Aviix) + = 0, (8)

где xiix) = xix + 1) + AoGr), |x± = Я + АтСг). Так как xiix) — полином не выше первой степени, а не зависит от х, то (8) будет уравнением того же вида, что и (3).

Легко проверить и обратное утверждение: любое решение уравнения (8) при К?=0 можно представить в виде vtix) = Ayix), где yix) — некоторое решение уравнения (3), которое выражается через Viix) следующим образом:

I

У (ж) = — - [a (я) Vi^ + Т (ж) i>J.

Подобным же образом для функции vnix) *= A”yix) можно получить разностное уравнение гипергеометрического типа

oix)AVvnix) + T„(:r)Ai;n(:r) + n„v„ ix) = 0, (9)

где

Xnix) = xn-iix + 1) + АоЫ, Xeix) = xix), (10)

|*n = Цп-i + Атп^ж), jio =¦ Я,. (И)

Справедливо и обратное утверждение: любое решение уравнения (9) при ц^О (fc = 0, 1, п— 1) можно представить в виде Vnix) = Anyix), где yix) — некоторое решение уравнения (3).

Бели (10) переписать в виде

хп(х) + aix) = t„-i(* + 1) + aix + 1), (10а)

102
то легко получить явное выражение для т„(ж):

т„(ж) = т(ж + п) + о(х + п) — aix).

Чтобы найти явное выражение для fi„, достаточно заметить, что величины Дт„(ж) и Аго(ж) не зависят от х. Поэтому

Дт„ = Атп-j + Аго =... = Дт + п Дго

и, следовательно, = fx„_, + Дт + (п — 1)Д2о. Отсюда

Рп = Ио + 2 (Н — Pfc-i) = Я + и Дт + " '"Г1* Д2а = fc=l z

— Я, + пт' + - ~1} а”\ (12)

2. Разностные аналоги полиномов гипергеометрического типа в их производных. Формула Родрига. Рассмотренное в п. 1 свойч ство разностных производных Дпу(х) позволяет построить теорию классических ортогональных полиномов дискретной переменной, следуя логической схеме, принятой в гл. I. Очевидно, уравнение (9) при р„ = 0 имеет частное решение vn(z) =¦ const. Так как v„(x) — А”у(х), то это означает, что при

1 1 " (" —J) „я

Л — — ть% 2 О -

может существовать частное решение уравнения у — уп{х), являющееся полиномом п-й степени, если {к = 0, 1, п— 1).

Действительно, уравнение для функции vh(x)

о(ж) Д V vk + т*(ж) ДуЛ + nkvh = О можно переписать в виде

vh (х) = — -f - [о (ж) Vvh+1 (ж) + тй (ж) vh+1 (ж)].

И*

Отсюда видно, что если уЛ+|(ж) — полином, то у*(ж) —также полином при рЛ ч6 0.

Чтобы получить явное выражение для полинома у„(ж), запишем уравнения (3), (9) в самосопряженном виде;

Д (ор У у) + Я,ру = 0, (13)

Д (ap„Vv„) + р„р„у„ = 0. (14)

Здесь функции р(ж) и рп(ж) удовлетворяют разностным уравне-* ниям

Д (ор) = тр, (15)

Д (Ори) = Тпр„. (16)

Найдем связь функций р„(ж) и р(ж), представив уравнение (16) в виде

а (х + 1) рп (х + 1)
Отсюда видно, что (10а) будет эквивалентно соотношению

о (х + 1)рп (х +1) а {х + 2) рп-1 (х + 2)

Рп И ~ Рп-х (* + *) ’

т. е.

Рп (* + « Рп <*>

а(х + 2)рп_1{х^г2) ofi+'Dp^ (х +1) ^п'х>'

где С„(х) — произвольная периодическая функция с периодом, равным единице. Нам достаточно найти любое решение уравнения (16), поэтому можно положить Сп(х) =¦ 1. В результате получим

р»(ж) = о(ж + 1)р„_,(ж +1).

Так как р0(х) =¦ р(ж), то

П

Р„ (х) = р (ж + га) JJ о (ж + к). (17)

Й=1

Используя связь функций р„(ж) и рп+1(ж), уравнение (14) можно записать в виде простого соотношения между функциями vn(x) и ув+1(ж). Действительно,

Рп (х) vn (ж) — — -f- Д [о (х) рп =

гп

«= -Л- V [о (ж + 1) рп (ж + 1) Ду„ (ж)],

или

Рп (®) Vn (ж) — ——V [рп+1 (ж) Уп+1 (¦*¦)]•

Отсюда при т<п последовательно получаем

Рт^т — г— V (Pm+lfm+l) =

rm

" ^— “ j ^^ j V2 (Pm+г^т+г) =»••• = (р„У„), (18)

где

^-(-1)яПт. А = 1. (19)

ft=S»0

Если у =» у„(ж), то у„(ж) = const, и мы приходим к следующему выражению для vmn(x) = Дту„(ж):

Vmn(x) - ^2 V”-m [р„ (*)], (20)

104
где

Amn = Ат (Я,) U=J.n = П (*' + n ^

Aon = 1» W^Ln,
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 133 >> Следующая