Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Специальные функции математической физики - Никифоров А.Ф.

Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики — М.: Мир, 1979. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): specfunkciimatematfiziki1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 133 >> Следующая

~ ехр {- t-’ ехр {- {Ьх) xV+ldx =

О О

_ 2v-»0,-.v-!(>, | ехр {_,(,+ 5) _ Щ *_ =

оо

О

• V / 1Л 2 , Т 2 Ч U—V—1 _______

= : ,v ) А^-] ^ ^а‘ + fc2)*

Таким образом,

ГАЛа У*? + У*) v+!

J (a.2+^/2 Л (И dX =

О

bv / 1/^2 Г‘Т2 \ M-—v—1 _____

- # {^Y^) ^-v-1 (у Va* + b2). (2>

Приведем некоторые следствия из соотношения (2).

а) Пусть цг= 1/2. Так как

ТО

Р -°Ух2+у2 j d“

~ + f уГ“г+р)- (3>

В частности, при v = 0 получим

°г-аУ^+? е-у У^7ь*~

\ /„ (Ья) xdx = — ..... (4)

¦J V** + y* /а2+Ь2 w

При у 0, v + 1/2 > 0 формула (3) дает

оо

(* е_азс /v (bx) xvdx = — 1 -7--= ( - 2Ь Д Г (v + -|Л (5)

J Vn{a2 + b2) W+b2} \ 2} w

238
При выводе (5) мы воспользовались тем, что при v > 0, z -*¦ О

К м~ 71 (Z/2)~V Г (у) / z \~v

v ' ' 2 sin Jtv Г (— v -j- 1) 2 \ 2 ) *

б) Пусть в (2) v < 2ц — 3/2, а 0. Так как при этом

•то

00

1

jv ^Х) , /6 \ц—1 i/V ,

(.г2 + Л* = fc) Ш ^V_1 ( У)*

(.г2 + /)»* \2у) Г (ц)

Полагая здесь ц = 3/2, v = 0, получим

(6)

о

J0(bx)x

(*2 + /)3"2

¦dx = !__________ (7)

Соотношения (2)—(7) были выведены при некоторых ограничениях, наложенных на параметры. С помощью принципа аналитического продолжения полученные результаты легко распространяются на более широкую область значений параметров. В частности, (6) справедливо при

—1 < Re v < 2 Re ц — 1/2.

Из (6) при (j, = 1/2, v = 0 находим

оо

J

scj (Ъх)

ах =

239
ГЛАВА V

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ,

КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

Теория специальных функций является разделом математики, глубоко проникающим своими корнями в математический анализ, теорию функций комплексного переменного, теорию представлений групп, теоретическую и математическую физику. Благодаря этим связям специальные функции имеют широкую область применения. В настоящей главе рассмотрен ряд примеров использования специальных функций для решения некоторых важных задач математической физики, квантовой механики и вычислительной математики.

§ 24. Приведение уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям методом разделения переменных

1. Общая схема метода разделения переменных. Обобщенные уравнения гипергеометрического типа возникают, как правило, в результате решения уравнений математической физики и квантовой механики методом разделения переменных. Напомним основные черты метода разделения переменных. Этот метод применяется для отыскания частных решений уравнений вида

Ьи = 0, (1)

где оператор L представляется в виде

-L = LlLt + MxMb (2)

Операторы Lu Л/, действуют лишь на одну группу переменных, от которых зависит функция и, a Ь2, М2 действуют на оставшиеся переменные. Под произведением операторов подразумевается результат их последовательного применения. При этом предполагается, что все операторы Li, Mt (i = 1, 2) являются линейными, т. е.

(CjU + во v) — CjLju + с2Ьр,

Mi (cjU + c2v) = CjAf iii + c2MiV, где Сц c2 — постоянные.

240
Пример 1. Пусть Lu = ихх + ит. В данном случае

= 5 75а;2, Ьг = Е, М, = Е, М2 = дУду2,

где Е — единичный оператор.

Для операторов вида (2) частное решение уравнения (1) можно искать в виде и = и,и2, где функция щ зависит лишь от первой группы переменных, а щ. от остальных переменных. В силу того, что

L1L2(w,u2) = LtUi • L2u2, MiM2(.UiUz) = MtUt • M2u2, уравнение Lu = 0 можно переписать следующим образом:

Liui = M2U2 M1U1 L2U2 '

Так как функция Ltut/Miui не зависит от второй группы переменных, a M2uJL2u2 от первой группы переменных, то

' Vl M2U2 .

M1U1 L2U2

где % — некоторая постоянная. В результате приходим к уравнениям, в каждое из которых входят функции, зависящие лишь от части исходных переменных:

LtUi — KMiUu Мги2 = —КЬ2и2. (3)

В силу линейности оператора L линейная комбинация решений, т. е,
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 133 >> Следующая