Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Специальные функции математической физики - Никифоров А.Ф.

Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики — М.: Мир, 1979. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): specfunkciimatematfiziki1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 133 >> Следующая


>.„+! > Кп. Следовательно, все собственные значения можно занумеровать по числу п, принимающему значения п = 0, 1, ...

Для того чтобы доказать, что уравнение (15) имеет корень при любом значении п — 0, 1, ..., достаточно показать, что

lim ф (Ъ, %) = 0, lim ф (b, X) = + оо. (16)

—оо Я-*+оо

Воспользуемся теоремой сравнения. Пусть в задаче Штурма — Лиувилля функции k(x), g(x, К) заменены соответственно на постоянные k, g(K) и 1с, g(K), причем

*(*-)< *(*.*)< ?(*-)•

Тогда для соответствующих функций фОг), ф(ж), фОг) получим уравнения

ф' = щ cos2 ф + g (х, К) sin2 ф,

_ | _ __ _________________ ^ 1 ~ ~ ^

ф' = •= cos2 ф + g (к) sin2 ф, ф' = ~ cos2 ф + g (К) sin2 ф.

251
Если в граничных условиях (14) постоянные ai5 fK заменить соответственно на ai, Pi и ai, Pi, которые выбираются из условия <jp(a) = <jp(a) = <p(a)*), то по теореме сравнения при х> а, будут иметь место неравенства

кр(х, Я,) < ц>(х, К) < <р(ж, К)

и, в частности,

<р(Ь, Я,) ^ <р(6, Я,) ^ <р(Ь, к).

Поэтому предельные соотношения (16) будут вытекать из аналогичных соотношений для <р(Ь, А,) и <р(Ь, К).

Для определения функций q>(x, X), (р(х, Я,) решим уравнения для у(х, К), у(х, к):

у" + 1&>у = о, (17)

к

у" + Шу= о. (18)

к

Так как lim g(w,K) = — оо, lim g(x,K) = + оо, то будем счи-

К~*—оо Я-» + оо

тать, что аналогичные соотношения выполнены и для функций

g(K), g(K). Покажем, что lim <р (b, к) = 0, lim <р (Ъ, А,) = 0. Реше-

—ОО —оо

ние уравнения (17), удовлетворяющее условию а,у(а) + p(!/'(a) = 0, имеет вид

у (х, К) =

IA |"-1 sh и (х — а) — рх ch и (х — a) j, A sin'(co(;z — а) + <ю0), g (К) > 0,

i'(co(;r — a) + <p0), g (X) > 0,:

где со = У\Ш\, ax sin <jp0 + pjO) cos <jp0 = 0.

Функция yix, %) при x > а не имеет нулей, если g(K) так как в этом случае

— Лрх ch и (х — a), Pi ф 0,

У (х, X) ¦

А —- sh (о (х — а),' рх = 0.

Это означает, что 0 < <р(ж, А,) < л при х > а, если К — любое достаточно большое по модулю отрицательное число. Кроме того,

*) Это условие будет выполнено, если
как нетрудно видеть,

ctg ф (х,к) = к — ^х’ ^ -> + оо, к —>—оо.

у (х, Я)

Это означает, что lim ф (х, к) = 0.

Яг-*—оо

Пусть теперь Я-»- +°°. Тогда из явного выражения для у(х, к) видно, что эта функция может иметь произвольно большое число нулей на интервале (а, Ь), т. е. ф(Ь, к) 3® пп при любом п > 0 для достаточно большого положительного значения к. Поэтому lim ф (Ъ, к) = + оо.

Мы доказали предельные соотношения для функции ц>(х, к). Аналогично доказываются эти соотношения и для ф(ж, к). Так как

ф(ж, к) ф(ж, к) (р(х, к), то lim ф (Ъ, к) = 0, lim ф (Ь,к) = + оо. Теорема доказана.

Я —*—оо %¦>• 1 ОО

Рассуждения, использованные при доказательстве теоремы, дают возможность просто оценить собственные значения к. Пусть кп и кп соответствуют функциям Их), g(x, к) и Их), gix, к), причем

*<*¦ *•><«(*¦ »•><5<*• *¦)•

ajfc (а) агк (а) агк (a) a2fc (b) агк (Ъ) агк (Ъ)

~РГ= р! р! ’ Т Р2 = |2 ’

где а„ р,-, а,-, р,-, а,-, р, — постоянные, входящие в граничные условия вида (14). _

Так как ф(а) = ф(а) = ф(а), то по теореме сравнения ф(Ь, к) ^ ^Ф(fc, к) ^ф(Ь, к). Кроме того,

I а „к (Ь)\ ф {р, кп) = arcctg I-р— I + пп,

— / — \ ( а21с №) 1 Ф (Ь, = arcctg--------=— I + яге,

\ Р а /

~ Г, 7Г \ I a2k (ь) I

ф (о, кп) — arcctg--------— I + пщ

\ Р 2 J

откуда ф(Ь, кп) =Ф(Ь, кп) =ф(Ь^кп). Поэтому в силу монотонного •возрастания функций ф(Ь, к), ф(Ь, к), ф(.Ь, к) с ростом к имеем

кп < кп SS кп.

Рассмотрим также еще один удобный способ оценки снизу собственных значений в важном для приложений случае, когда

253
ctiPi < 0, a2?2 ^ 0. Для получения такой оценки умножим

уравнение

[к{х)у'У + [Хр(ж) — q(x)]y = О на у(х) и проинтегрируем его по ж от а до Ъ. Имеем

J yLy dx j^2^-

к =

ъ ь

J г/2р dx J у2р dx
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 133 >> Следующая