Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Специальные функции математической физики - Никифоров А.Ф.

Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики — М.: Мир, 1979. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): specfunkciimatematfiziki1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 133 >> Следующая


а а

С другой стороны,

-\уъ[къ\йх = -куу' | +\к{Шйх-

а а а

Для оценки подстановки воспользуемся граничными условиями (14), умножив первое из них на Ха^' + Pii/)l*=a, а второе на (агу' + $2у)\х=ь. В результате получим

аА «Г+Р'Г

УУ'\ х=а =-----------(У2 + у'2) |ж=а > 0,:

уу'\х=ь — — -2 Уда (У2 + у’2) U=b < Ъ.

что

Поэтому — J у ^ (а dx > 0, откуда следует,

а

Ъ 1Ь

qy2dxH y2pdx. а I а

Так как р(ж) >0, то по теореме о среднем ь ь

J W*dz = (|) |ж=ж, j у2р dx, х* <=\а, b).

а а

Таким образом,

min pfip (19) х?(а,6) г(х1

В случае, когда собственные функции у{х) Ф const, будет иметь место строгое неравенство, так как

J*(s)2d*>0-

a

254
4. Разложение функций по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля. При решении краевых задач математической физики широко используются разложения функций по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля;

оо

/И = 2 агцп{х)% (20)

п—0

где уп(х) — собственная функция, соответствующая собственному значению h—'kn. Коэффициенты ап находятся из свойств

ортогональности собственных функций: ь I ь

ап = J / И Уп (ж) Р (я) dx J Уп (х) Р (x)dx. (21)

а /а

В частном случае задачи Штурма — Лиувилля, когда k(x) = 1, р(ж) = 1, д(ж)=0, = 0, собственные функции уЛх) име-

ют вид

уп(х)=: Ansin™{x — a), К = ]/^у,

а при ai = а2 = 0

Уп (х) = Вп cos^p (х — а), К = 1 — Ь — а.

В этих случаях разложение (20) является известным разложением в ряд Фурье соответственно, по синусам или по косинусам.

В общем случае условия, при которых справедливо разложение (20), можно свести к условиям разложимости функции в ряд Фурье тем же способом, который был описан в § 8 для классических ортогональных полиномов (см. теорему равносходимости).

5. Краевые задачи для уравнения Бесселя. В качестве примера решения краевых задач математической физики методом

разделения переменных рассмотрим решение уравнения теплопроводности

.dt

в бесконечном цилиндре г < г0 с граничными условиями

(аи + р ^г)|г=го — ° (22)

и с какими-либо начальными условиями, не зависящими от рас-

стояний вдоль оси цилиндра (а, Р — постоянные).

Если использовать цилиндрические координаты, то естественно предположить, что и — и(г, ф, t). Будем искать частное решение задачи методом разделения переменных, полагая

и = ГШД(г)Ф(ф).

255
Подставляя это выражение в уравнение теплопроводности

получим

1 ди 1 д { 0ц \ 1 д и

a*'dt ~ г ' dr V дг) г2 а(р2 *

где К — постоянная, так как левая часть равенства не зависит от г, ф, а правая от t. Уравнение для функции Tit) дает

T(t) = e~'KaH.

Далее, имеем

?(гЯ')' + ^ = -^ = И,;

где ц — постоянная. Решая уравнение для Ф(ф), получим

ф(ф) = A cos Уц ф + В sin Уц ф.

Так как из физических соображений функция и(г, ф, t) должна быть однозначной, то функция Ф(ф) должйа удовлетворять условию периодичности

Ф(ф + 2п) = Ф(ф),

откуда |х = пг, где п = О, 1, ... Поэтому функция R(r) должна удовлетворять уравнению

R"+±R' +(^-72) * = 0,

(23)

которое является частным случаем уравнения Ломмеля (14.4). ПсГ физическому смыслу функция а(г, ф, t) должна быть ограниченной при г < г0 и, в частности, при г 0. Поэтому с точностью до множителя

Жг) = /„(УЯг).

Согласно (22) функция Жг) должна удовлетворять граничному условию

[aR (г) + р/?' (г)] |Г=Г0 = 0, (24)

откуда получаем уравнение для определения возможных значений постоянной К:

а/„ (2) + yzj'n (2) = 0, (25)

где z — УЯ, г0, 7 = р/г0.

Общее решение поставленной задачи представим в виде суперпозиции полученных частных решений:

«VI о
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 133 >> Следующая