Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Таранина И.В. "Гражданский процесс в схемах " (Юриспруденция)

Смоленский М.Б. "Адвокатская деятельность и адвокатура российской федерации" (Юриспруденция)
Реклама

Введение в анализ - Яковлев Г.П.

Яковлев Г.П. Введение в анализ — МФТИ, 2002. — 25 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedeniyevanalis2002.pdf
Предыдущая << 1 < 2 > 3 4 5 6 7 8 .. 10 >> Следующая

А и В = В и А, А п В = В п А .
Если А и В не имеют общих элементов, то говорят, что множества А и В не пересекаются, и пишут А п В = 0 , где 0 — обозначение пустого множества. Множество, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называется разностью множеств А и В и обозначается А\В. Очевидно, если А щ В, то А\В = 0.
Доказать следующие утверждения.
1. Операции объединения и пересечения обладают свойством ассоциативности, т.е. А и (В и С) = (А и В) и С, А п (В п С) = (А п В) п С для любых множеств А, В, С.
2. Операция объединения относительно операции пересечения и, наоборот, пересечения относительно объединения обладают свойством дистрибутивности, т.е.
(А и В) п С = (А п С) и (В п С), (А п В) и С = (А и С) п (В и С).
3. Каждое из равенств А и В = В и А п В = А справедливо тогда и только тогда, когда
А щ В.
4. Для любых множеств А, В, С:
1) А\(А \В) = А пВ;
2) (А \ В) и (В \ А) = (А и В)\( А п В);
3) (А \ В)\С = А\(В и С);
4) (А \ В) п С = (А п С)\(В п С).
Говорят, что между элементами множеств X и У установлено взаимно однозначное соответствие, если имеется правило, по которому каждому х е X ставится в соответствие единственный элемент у е У и каждый у е У поставлен в соответствие единственному х е X.
Два множества называются равномощными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.
Множество, равномощное множеству N всех натуральных чисел, называется счетным. Непустое множество называется конечным, если оно состоит из п элементов, где п — некоторое натуральное число. В противном случае множество называется бесконечным.
Доказать следующие утверждения.
5. Любое бесконечное множество имеет счетное подмножество.
6. Объединение любого конечного числа счетных множеств является счетным множеством.
7. Объединение произвольного бесконечного множества X и счетного множества равномощно множеству X
8. Множество Q всех рациональных чисел счетно.
9. Объединение счетного числа счетных множеств является счетным множеством.
В математических определениях и утверждениях часто употребляются выражения "для каждого (любого, всех) ..." и "существует ... такое (такой, такая), что ...". Эти выражения обозначаются соответственно V и 3 и называются кванторами: V квантор всеобщности, 3 - квантор существования.
Используя кванторы, определение включения A е B можно сформулировать так:
A е B, если Vx е A : х е B, а тот факт, что A & B, - следующим образом:
A & B, если 3х е A : х g B.
Здесь двоеточие означает, что после него идет высказывание, которое справедливо для указанных х. Для квантора V иногда отступают от такого порядка написания. Например, вместо Vn е N : 2n > n пишут 2n > nVn е N, что вполне соответствует стилистике русского языка: вместо "для любого n е N2n > n можно сказать "2n > n для любого n е N".
Приведем еще один пример использования кванторов.
Функция f(x), определенная на R, называется периодической, если она удовлетворяет условию:
3T > 0 : Vx е R : f (х + T) = f (х).
Соответственно, f(x) не будет периодической, если она удовлетворяет противоположному условию, т.е.
VT > 03х е R : f (х + T) * f (х) .
§ 2.
Бесконечные десятичные дроби и действительные числа
Напомним, что еще в школе наряду с конечными десятичными дробями, т.е. символами вида
±ао,а1а2...ап, (1)
где а0 - целое неотрицательное число, а ±a0,a1a2...an — последовательность из n цифр, рассматривались и бесконечные десятичные дроби, т.е. символы вида
± a0 , aia2 .. *anan+1 ... , (2)
где ± a0, a1a2.. anan+1... - бесконечная последовательность цифр.
Будем считать, что конечные десятичные дроби мы умеем сравнивать, складывать, вычитать и умножать по обычным правилам арифметики. Исходя из этого, для бесконечных десятичных дробей прежде всего введем соотношения порядка, т.е. определим понятия "равно", "меньше", "больше". Так упорядоченное множество всех десятичных дробей обозначается R и называется множеством действительных чисел, а каждый элемент этого множества - действительным числом.
Для любой десятичной дроби а вида (2) конечная десятичная дробь (1) называется n-отрезком дроби a и обозначается (a) n.
Десятичные дроби a и в называются равными: a = в, если
Vn: |(a) n - (в) ,J ? 10"n.
Говорят, что дробь a меньше дроби в '? a < в (или в больше a : в > a), если,
3n : (в) n - (a) n > 10^n.
Очевидно, одинаковые десятичные дроби равны, но равными могут быть и разные десятичные дроби. Например, 0,99...9... = 1,00...0... = 1.
Для любой десятичной дроби а > 0 конечные десятичные дроби (а) п и (а) п +10-п называются п-ми десятичными приближениями (соответственно нижним и верхним) и обозначаются (а) и (а)п.
Таким образом, если а > 0, то
а) п = (а) п , (а) п = (а) п + 10 -п .
Если же а < 0, то, по определению,
(а) п = (а) п -10 -п. (а) п = (а) п.
Почти очевидно, что у любого действительного числа а нижние десятичные приближения с возрастанием п не убывают, а верхние не возрастают, причем
(а)п <а<(а)п^п
Действительные числа, возникающие на практике, часто имеют особые обозначения, поэтому говорят, что каждое действительное число изображается некоторой десятичной дробью, а каждая десятичная дробь является представлением некоторого действительного числа.
Предыдущая << 1 < 2 > 3 4 5 6 7 8 .. 10 >> Следующая